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Derived categories of coherent sheaves on rational homogeneous manifolds
(2005)
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Christian Böhning
- Abstract. One way to reformulate the celebrated theorem of Beilinson is that $(\mathcal{O}(-n),\dots , \mathcal{O})$ and $(\Omega^n(n), \dots , \Omega^1 (1), \mathcal{O})$ are strong complete exceptional sequences in $D^b(Coh\,\mathbb{P}^n)$, the bounded derived category of coherent sheaves on $\mathbb{P}^n$. In a series of papers M. M. Kapranov generalized this result to flag manifolds of type $A_n$ and quadrics. In another direction, Y. Kawamata has recently proven existence of complete exceptional sequences on toric varieties. Starting point of the present work is a conjecture of F. Catanese which says that on every rational homogeneous manifold $X=G/P$, where $G$ is a connected complex semisimple Lie group and $P\subset G$ a parabolic subgroup, there should exist a complete strong exceptional poset and a bijection of the elements of the poset with the Schubert varieties in $X$ such that the partial order on the poset is the order induced by the Bruhat-Chevalley order. An answer to this question would also be of interest with regard to a conjecture of B. Dubrovin which has its source in considerations concerning a hypothetical mirror partner of a projective variety $Y$: There is a complete exceptional sequence in $D^b(Coh\, Y)$ if and only if the quantum cohomology of $Y$ is generically semisimple (the complete form of the conjecture also makes a prediction about the Gram matrix of such a collection). A proof of this conjecture would also support M. Kontsevich's homological mirror conjecture, one of the most important open problems in applications of complex geometry to physics today. The goal of this work will be to provide further evidence for F. Catanese's conjecture, to clarify some aspects of it and to supply new techniques. In section 2 it is shown among other things that the length of every complete exceptional sequence on $X$ must be the number of Schubert varieties in $X$ and that one can find a complete exceptional sequence on the product of two varieties once one knows such sequences on the single factors, both of which follow from known methods developed by Rudakov, Gorodentsev, Bondal et al. Thus one reduces the problem to the case $X=G/P$ with $G$ simple. Furthermore it is shown that the conjecture holds true for the sequences given by Kapranov for Grassmannians and quadrics. One computes the matrix of the bilinear form on the Grothendieck $K$-group $K_{\circ}(X)$ given by the Euler characteristic with respect to the basis formed by the classes of structure sheaves of Schubert varieties in $X$; this matrix is conjugate to the Gram matrix of a complete exceptional sequence. Section 3 contains a proof of theorem 3.2.7 which gives complete exceptional sequences on quadric bundles over base manifolds on which such sequences are known. This enlarges substantially the class of varieties (in particular rational homogeneous manifolds) on which those sequences are known to exist. In the remainder of section 3 we consider varieties of isotropic flags in a symplectic resp. orthogonal vector space. By a theorem due to Orlov (thm. 3.1.5) one reduces the problem of finding complete exceptional sequences on them to the case of isotropic Grassmannians. For these, theorem 3.3.3 gives generators of the derived category which are homogeneous vector bundles; in special cases those can be used to construct complete exceptional collections. In subsection 3.4 it is shown how one can extend the preceding method to the orthogonal case with the help of theorem 3.2.7. In particular we prove theorem 3.4.1 which gives a generating set for the derived category of coherent sheaves on the Grassmannian of isotropic 3-planes in a 7-dimensional orthogonal vector space. Section 4 is dedicated to providing the geometric motivation of Catanese's conjecture and it contains an alternative approach to the construction of complete exceptional sequences on rational homogeneous manifolds which is based on a theorem of M. Brion (thm. 4.1.1) and cellular resolutions of monomial ideals a la Bayer/Sturmfels. We give a new proof of the theorem of Beilinson on $\mathbb{P}^n$ in order to show that this approach might work in general. We also prove theorem 4.2.5 which gives a concrete description of certain functors that have to be investigated in this approach.
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Zur Moritheorie auf Kählerdreifaltigkeiten mit höchstens terminalen Singularitäten
(2005)
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Wolfgang Kronenthaler
- In den späten Neunzigern beginnen F. Campana und Th. Peternell mit der Entwicklung eines Analogons zur Moritheorie projektiver Varietäten für glatte kompakte Kählerdreifaltigkeiten. Dabei zeigen sie unter anderem die Existenz spezieller Kontraktionsabbildungen mit Hilfe von nicht-spaltenden Familien rationaler Kurven, die als Pendant zu den extremalen Kontraktionen der Moritheorie gedacht sind. Beabsichtigt man mit Hilfe dieser Kontraktionsabbildungen ein "minimales Modell-Programm" für kompakte Kählerdreifaltigkeiten zu implementieren, so benötigt man die Existenz solcher Abbildungen auch für Kählerdreifaltigkeiten mit höchstens terminalen Singularitäten. Die Realisierung dieser Verallgemeinerung, aufbauend auf den Techniken aus den Arbeiten der genannten Autoren (wobei die Kontraktion auf eine Kurve nur für Gorenstein-Kählerdreifaltigkeiten nachgewiesen wird), ist genau der Inhalt dieser Arbeit. Den Gegenstand der Untersuchungen dieser Arbeit bilden also Q-faktorielle (nicht-projektive) kompakte Kählerdreifaltigkeiten X mit höchstens terminalen Singularitäten. Unterstellt wird jeweils die Existenz einer nicht-spaltenden Familie (C_t) rationaler Kurven mit dim T >= 1 und (-K_X.C_t ) > 0. Ist die Familie (C_t) überdeckend, hat man F. Campanas geometrischen Quotienten zur Verfügung. Mit dessen Hilfe weist man nach: Satz 1: Sei X eine Q-faktorielle kompakte Kählerdreifaltigkeit mit höchstens terminalen Singularitäten und (C_t) eine überdeckende nicht-spaltende Familie rationaler Kurven. Dann ist X projektiv, es sei denn, es handelt sich um ein P_1-Bündel über einer nicht-projektiven glatten kompakten Kählerfläche mit den Kurven C_t als Fasern. Ist die Familie (C_t) nicht überdeckend und füllt stattdessen nur einen irreduziblen reduzierten Divisor S aus, unterscheidet man danach, ob ein Punkt x_0 in S existiert, durch den alle Kurven einer 1-dimensionalen (Teil-)Familie verlaufen oder nicht. Existiert solch ein Punkt x_0, gilt es, die Fläche S durch Anwendung des Grauertschen Kontraktionssatzes auf einen Punkt in einer Q-faktoriellen Cohen-Macaulayvarietät Y mit höchstens terminalen Singularitäten zu kontrahieren. Man erhält als Ergebnis: Satz 2: Sei X eine Q-faktorielle nicht-projektive kompakte Kählerdreifaltigkeit mit höchstens terminalen Singularitäten und (C_t) eine nicht-spaltende Familie rationaler Kurven mit der Eigenschaft (-K_X.C_t) > 0. Die Familie (C_t) sei entweder 1-dimensional und es gebe einen Punkt x_0 in X, durch den alle Kurven der Familie (C_t) verlaufen, oder 2-dimensional, aber überdecke die Dreifaltigkeit X nicht. Bezeichnet S diejenige (irreduzible reduzierte) Fläche in X, die von den Kurven der Familie (C_t) ausgefüllt wird, so existieren eine kompakte Q-faktorielle Cohen-Macaulayvarietät Y mit höchstens terminalen Singularitäten und eine holomorphe Abbildung f: X -> Y, sodass gilt: 1.) f(S) = pt; 2.) Die eingeschränkte Abbildung f: X-S -> Y-{pt} ist biholomorph. Existiert kein Punkt x_0 wie oben beschrieben, unterscheidet man weiter, ob "(S.C_t) < 0" oder "(S.C_t) >= 0" gilt. Im erstgenannten Fall setzt man sich die Kontraktion auf eine Kurve (wieder in einer Q-faktoriellen Cohen-Macaulayvarietät Y mit höchstens terminalen Singularitäten) zur Aufgabe. Im zweitgenannten Fall findet man entweder eine divisorielle Kontraktion auf einen Punkt oder eine Kurve mit Hilfe einer alternativen nicht-spaltenden Familie rationaler Kurven (C'_t) oder X besitzt die Struktur eines Konikbündels über einer normalen Fläche W. Aus technischen Gründen beschränke ich mich auf den Gorensteinfall: Satz 3: Sei X eine Q-faktorielle nicht-projektive kompakte Gorenstein-Kählerdreifaltigkeit mit höchstens terminalen Singularitäten und (C_t) eine 1-dimensionale nicht-spaltende Familie rationaler Kurven mit der Eigenschaft (-K_X.C_t) > 0. Die Familie (C_t) sei maximal, d.h. T sei eine (irreduzible) Komponente im Douadyraum von X, und es gebe keinen Punkt x in X, durch den alle Kurven der Familie (C_t) verlaufen. Es bezeichne S diejenige (irreduzible reduzierte) Fläche in X, die von den Kurven der Familie (C_t) ausgefüllt wird. I) Ist (S.C_t) < 0, so gilt: 1. S ist isomorph zu einer P_1-Faserung über einer eventuell singulären Kurve B mit den Kurven C_t als Fasern (mengentheoretisch) und (S.C_t) = -1; 2. Es existieren eine kompakte Q-faktorielle Gorensteinvarietät Y mit höchstens terminalen Singularitäten und eine holomorphe Abbildung f: X -> Y, sodass gilt: a) f(S) = B; b) Die eingeschränkte Abbildung f: X-S -> Y-B ist biholomorph. II) Ist (S.C_t) >= 0, so existiert entweder eine divisorielle Kontraktion auf eine kompakte Q-faktorielle Cohen-Macaulayvarietät \tilde{X} mit höchstens terminalen Singularitäten oder X besitzt die Struktur eines Konikbündels über einer normalen Fläche W.
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Konstruktion und Eigenschaften ganzzahliger Punktmengen
(2005)
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Sascha Kurz
- In vielen Anwendungen in der Chemie, Physik, Biologie und in den Ingenieurswissenschaften treten diskrete Strukturen auf. Beispiele solcher diskreter Strukturen sind molekulare Graphen, fehler-korrigierende Codes, Designs, Matroide, Schaltfunktionen, Assoziationsschemata, endliche Geometrien oder Netzwerke. Die bloße theoretische Existenz einer solchen Struktur, auch mit den sich aus den Anwendungen ergebenen Nebenbedingungen, nutzt dem Anwender meist recht wenig. Die Herausforderung der sich die Mathematik in diesem Zusammenhang stellen muss, ist das schnelle redundanzfreie Erzeugen diskreter Strukturen unter Berücksichtigung von Nebenbedingungen. In dieser Dissertation sollen Punktmengen im Euklidischen Raum E^m mit paarweise ganzzahligen Abständen betrachtet werden. Für die Wahl dieses scheinbar recht speziellen Themas gibt es eine Reihe von Gründen. Zum einen gibt es interessante Anwendungen für dieses Problem, von denen wir ein paar im nächsten Kapitel vorstellen möchten. Die Fragestellung ist weiterhin mathematisch sehr interessant, da sie mehrere mathematische Teildisziplinen berührt. Zu nennen wären hier die Geometrie, Gruppentheorie, Zahlentheorie, Graphentheorie und Kombinatorik. Für die allgemeine Theorie der Konstruktion diskreter Strukturen sind die ganzzahligen Punktmengen von Interesse, da man hier nicht mit einem einzigen Konstruktionsalgorithmus zu befriedigenden Resultaten kommen kann, sondern fast die gesamte Bandbreite der bekannten allgemeinen Konstruktionsalgorithmen ausnutzen muss. Das Vorhandensein von stark einschränkenden Nebenbedingungen ist eine weitere sehr willkommene Eigenschaft. Ziel der Dissertation ist es, die Struktur und die Eigenschaften ganzzahliger Punktmengen genauer als bisher bekannt aufzuklären und Algorithmen zu entwickeln, mit denen man diese diskreten Strukturen effizient konstruieren kann. Trotz des speziellen Problems können Erkenntnisse auf das allgemeine Konstruktionsproblem diskreter Strukturen übertragen werden. Im Rahmen dieser Arbeit wurde eine Reihe neuer Resultate erzielt: - Nach Vorarbeiten in Abschnitt 2.3 können wir in Abschnitt 2.4 den Begriff der Charakteristik eines Dreiecks auf Simplizes beliebiger Dimension verallgemeinern. Den für die Konstruktion ganzzahliger planarer Punktmengen äußerst wichtigen Satz, dass je zwei Dreiecke aus 3 nicht kollinearen Punkten einer ganzzahligen planaren Punktmenge dieselbe Charakteristik besitzen, übertragen wir entsprechend auf beliebige Dimensionen. - In Kapitel 3 präsentieren wir eine Variante der ordnungstreuen Erzeugung, die für die Konstruktion ganzzahliger Punktmengen bzw. allgemeiner für die Konstruktion diskreter Strukturen mit strukturell ähnlichen, starken Nebenbedingungen besonders geeignet ist. - Den Eigenschaften und der Berechnung der Charakteristik von ganzzahligen Punktmengen haben wir uns in Kapitel 4 gewidmet. Die dortigen Betrachtungen führen unter anderem zu theoretischen Einsichten in die Struktur ganzzahliger planarer Punktmengen bzw. zu einer Laufzeitabschätzung für die von uns verwendete Konstruktionsmethode (in unserem Spezialfall). - In Kapitel 5 erweitern wir die Liste der bekannten minimalen Durchmesser ganzzahliger planarer Punktmengen. Bisher waren die minimalen Durchmesser ganzzahliger planarer Punktmengen aus n Punkten nur für n<=9 bekannt. In Abschnitt 5.4 bestimmen wir sie für n<=89. Für eine bestimmte Klasse ganzzahliger planarer Punktmengen haben wir in Abschnitt 5.2 die richtige Größenordnung des minimalen Durchmessers bestimmt. Für ganzzahlige planare Punktmengen ohne 3 kollineare Punkte waren die minimalen Durchmesser bisher ebenfalls nur für n<=9 bekannt. In Abschnitt 5.5 haben wir sie für n<=36 bestimmt. - Die Liste der bekannten minimalen Durchmesser von ganzzahligen räumlichen Punktmengen aus n Punkten konnten wir in Abschnitt 9.1 erweitern. Für n=9 mussten wir einen Wert aus der Literatur korrigieren und für 11<=n<=23 haben wir sie erstmals bestimmt. - In Kapitel 10 bestimmen wir die Anzahl ganzzahliger m-dimensionaler Simplizes mit Durchmesser d für einige Paare von Werten von m und d. - In Abschnitt 11.1 behandeln wir ganzzahlige m-dimensionale Punktmengen aus m+2 Punkten. Bisher waren nur Beispiele in den Dimensionen m=3,8 bekannt. Wir zeigen, dass es für ungerade Dimensionen m>=3 immer mindestens eine solche ganzzahlige Punktmenge gibt. Durch eine vollständige Suche zeigen wir, dass es in den Dimensionen m=2,4,6 und 10 keine derartigen Punktmengen gibt. - Für ganzzahlige m-dimensionale Punktmengen aus m+2 Punkten kann der minimale Durchmesser nur 3 oder 4 betragen. Bisher war nur bekannt, dass die untere Schranke 3 in den Dimensionen m=3,6,8 angenommen wird. In Abschnitt 11.2 zeigen wir, dass sie auch für 9<=m<=24 angenommen wird.
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Numerical Contributions to the Asymptotic Theory of Robustness
(2005)
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Matthias Kohl
- In the framework of this dissertation a software package – the R bundle RobASt – by means of the statistics software R has been developed. It includes all robust procedures introduced throughout the thesis. The dissertation itself consists of five parts and starts with a brief motivation, which makes precise why robust statistics is necessary. After that a detailed summary in German and English is given. Part I provides a description of the asymptotic theory of robustness (Chapter 1) which forms the basis of this thesis. It is based on Chapters 4 and 5 of Rieder (1994). Chapter 2 provides supplements to the asymptotic theory of robustness which have proved necessary for this thesis. More precisely, it contains results about: properties of the optimally robust influence curves (ICs), how one should proceed in an optimal way if the neighborhood radius is unknown – as mostly in practice, and the construction of estimates by means of the one-step method. At the end of Chapter 2 convergence of robust models is introduced which is related to the concept of convergence of experiments of Le Cam. Part II deals with optimally robust estimators for some non-standard models in robust statistics. These models are covered by the R package ROptEst which makes use of S4 classes and methods and is part of the R bundle RobASt. More precisely, the binomial (Chapter 3) and Poisson (Chapter 4) model, the exponential scale and Gumbel location model (Chapter 5) as well as the Gamma model (Chapter 6) are investigated. In particular, the binomial and Poisson model are used to study convergence of robust models. Using exponential scale and Gumbel location one can show that there is a connection between certain scale and location models via a log-transformation which also holds for the corresponding optimally robust ICs. Finally, the Gamma model is used to demonstrate how differentiable parameter transformations can be estimated in an optimally robust way. In Part III robust regression with random regressor and unknown error scale (Chapter 7) is treated where it is distinguished between simultaneous and separate estimation. In both cases the optimally robust estimators as well as robust estimators for several narrower classes of M estimators are considered. All these estimators are implemented in the R packages ROptRegTS and RobRex which are part of the R bundle RobASt. Numerical comparisons for several regressor distributions show that the various suboptimal M estimators may have very small but also huge efficiency losses. A further comparison of these and several other well-known robust estimators in case of normal location and scale is made in Chapter 8. These location and scale estimators are implemented in the R package RobLox which is part of the R bundle RobASt. In Part IV (Chapter 9) robust adaptivity in terms of two asymptotic MSE problems is defined. Hence, adaptivity is no longer only a dichotomous criterion but can be evaluated quantitatively in terms of efficiency loss. The various regression and time series models considered include models which are classically as well as robust-adaptive, models which are classically but not robust-adaptive, and finally models which are neither classically nor robust-adaptive. The numerical evaluations show that non-adaptivity depends in a crucial way on the considered model and may be very small in some models (e.g. AR(1) and MA(1)) but may be really huge in other models (e.g. ARCH(1)). Finally, in Part V (Chapter 10 – 12) asymptotic results are compared with their exact finite-sample counterparts. In case of a particular pseudo-loss function in terms of under-/overshoot probabilities an exact finite-sample as well as an asymptotic theory are available. As the analytic evaluation of the finite-sample risk turns out very difficult or even impossible for sample sizes larger than 2, algorithms based on the fast Fourier transform (FFT) have been developed to determine the exact finite-sample distribution of these differently robust estimators. Two interesting findings are: The (first order) asymptotics is too optimistic and the convergence towards the asymptotic values is better in case of total variation than in case of contamination neighborhoods. The appendix of this thesis contains supplementary results on the asymptotic theory of robustness for regression-type models (Appendix A), on the Kronecker product and the vec and vech operators (Appendix B) as well as on the convolution via FFT (Appendix C). Moreover, Appendix D provides a brief description of the R packages distrEx, RandVar, ROptEst and ROptRegTS which are part of the R bundle RobASt.
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Eine $L^q$-Theorie des Cosseratspektrums in beschränkten Gebieten und Außengebieten
(2005)
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Stephan Weyers
- In der vorliegenden Arbeit wird die Frage untersucht, für welche (Eigenwerte) a in R nichttriviale klassische oder schwache $L^q$-Lösungen (Eigenfunktionen) des Cosseratspektrums existieren $$ \Delta \U u = a \nabla \Div \U u, \qquad \U u \Big|_{\partial G}=0 $$ wobei G ein beschränktes Gebiet oder ein Außengebiet ist. Dieses Problem wurde erstmals von den Brüdern Eugène und Francois Cosserat untersucht. Es ist ein Spezialfall der Lamé-Gleichung und beschreibt die Auslenkung eines linearen, isotropen, homogenen elastischen Mediums ohne Einwirkung einer äußeren Kraft im statischen Fall. In dieser Arbeit wird das schwache Cosseratspektrum für beschränkte Gebiete und Außengebiete und 1<q bestimmt. Es ist a = 1 Eigenwert unendlicher Vielfachheit und a = 2 Häufungspunkt von Eigenwerten endlicher Vielfachheit. Die Gebrüder Cosserat (1900) bestimmten das klassische Cosseratspektrum für spezielle Gebiete wie Kugel, Annulus und Ellipsoid. Allgemeine Resultate stammen von Mikhlin (1973), der das Cosseratspektrum im Fall n=3 und q=2 bestimmte, und Kozhevnikov (1993), der beschränkte Gebiete im Fall n=3 und q=2 behandelte. Kozhevnikovs Beweis beruht auf der Theorie der Pseudodifferentialoperatoren. Faierman, Fries, Mennicken und Möller (2000) führten einen direkten Beweis für beschränkte Gebiete, n>=2 und q=2. Michel Crouzeix gelang 1997 ein sehr einfacher Beweis für beschränkte Gebiete, n=2,3 und q=2. In dieser Arbeit wird die Beweisidee von Crouzeix aufgegriffen, und die obigen Resultate werden für beschränkte Gebiete und Außengebiete, n>=2 und 1<q gezeigt. Ein weiteres Resultat ist, dass die Eigenräume zu Eigenwerten a in R\{1,2} nicht von q abhängen. Für diese Eigenfunktionen existieren höhere (klassische) Ableitungen. Deshalb ist auch für das klassische Cosseratspektrum a =2 Häufungspunkt von Eigenwerten. a =1 ist auch klassisch immer ein Eigenwert. Aus der Lösung des Cosseratspektrums folgt als Anwendung ein Zusammenhang zwischen der Greenschen Funktion zum Laplace-Operator und dem reproduzierenden Kern in Bergman-Räumen.
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Konstruktion von Isomorphieklassen orientierter Matroide
(2005)
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Ralf Gugisch
- Es werden sowohl theoretische Aspekte als auch Details zur Implementierung eines Generators von orientierten Matroiden und deren Isomorphieklassen besprochen.
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Lq-solutions to the Cosserat spectrum in bounded and exterior domains
(2005)
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Stephan Weyers
- In the present paper we consider the existence of non-trivial classical and weak Lq-solutions of the Cosserat spectrum $$ Delta U u = a abla Div U u, qquad U u Big|_{partial G}=0 $$ where G is a bounded or an exterior domain with sufficiently smooth boundary. This problem firstly was investigated by Eugene and Francois Cosserat. It is a special case of the Lame equation and describes the displacement of a homogeneous isotropic linear static elastic body without exterior forces. We can prove that a = 1 is an eigenvalue of infinite multiplicity and a = 2 is an accumulation point of eigenvalues of finite multiplicity. E. and F. Cosserat (1900) studied the classical Cosserat spectrum for certain types of domains like a ball, a spherical shell or an ellipsoid. General results are due to Mikhlin (1973), who investigated the Cosserat spectrum for n=3 and q=2, and Kozhevnikov (1993), who treated bounded domains in the case n=3 and q=2. Kozhevnikovs proof is based on the theory of pseudodifferential operators. Faierman, Fries, Mennicken and Möller (2000) gave a direct proof for bounded domains, n>=2 and q=2. Michel Crouzeix 1997 gave a simple proof for bounded domains, n=2,3 and q=2. In this paper we use the idea of Crouzeix to prove the results for bounded and exterior domains, n>=2 and 1<q. For the Lq-solutions of eigenvalues a in R {1,2} we can prove the existence of higher (classical) derivatives. Furthermore they do not depend on q. a =2 is an accumulation point of eigenvalues of the classical Cosserat spectrum, too, and a =1 is also a classical eigenvalue. As an approach we searched for a relationship of Greens function of the Laplacian to the reproducing kernel in Bergman spaces. We couldnt prove that directly. But after solving the Cosserat spectrum in another way we can prove the relationship indirectly.
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A bijection between the d-dimensional simplices with distances in {1,2} and the partitions of d+1
(2005)
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Christian Haase
Sascha Kurz
- We give a construction for the d-dimensional simplices with all distances in {1,2} from the set of partitions of d+1.
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Counting polyominoes with minimum perimeter
(2005)
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Sascha Kurz
- Es wird die Anzahl der wesentlich verschiedenen Polyominoes der Ordnung n mit minimalem Umfang p(n) bestimmt.
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On the characteristic of integral point sets in $\mathbb{E}^m$
(2005)
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Sascha Kurz
- We generalise the definition of the characteristic of an integral triangle to integral simplices and prove that each simplex in an integral point set has the same characteristic. This theorem is used for an efficient construction algorithm for integral point sets. Using this algorithm we are able to provide new exact values for the minimum diameter of integral point sets.
