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Simulation, Optimale Steuerung und Sensitivitätsanalyse einer Schmelzkarbonat-Brennstoffzelle mithilfe eines partiellen differential-algebraischen dynamischen Gleichungssystems
(2006)
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Kati Sternberg
- Brennstoffzellen besitzen wegen ihrer Effizienz und den niedrigen Schadstoffemissionen ein hohes Zukunftspotential. Ein breiter Einsatz von Brennstoffzellen ist derzeit jedoch noch nicht möglich, sodass ein erheblicher Forschungs- und Entwicklungsbedarf besteht, der die Bereiche der Werkstoffentwicklung, der Brennstoffspeicherung, der Prozessanalyse sowie der Prozesssteuerung umfasst. Bei der Analyse und der Steuerung der chemisch-physikalischen Abläufe innerhalb der Zelle müssen insbesondere bei Hochtemperaturzellen wie der Schmelzkarbonat-Brennstoffzelle (englisch: molten carbonate fuel cell, MCFC) die Wechselwirkungen zwischen den einzelnen Komponenten der Brennstoffzelle bei hohen Temperaturen verstanden und vorhergesagt werden. Dazu ist eine formale Beschreibung für die zeitliche Entwicklung der Gasströme, der Temperatur und der elektrischen Spannung in Abhängigkeit der intern stattfindenden elektro-chemischen Reaktionen auf dem örtlich verteilten Gebiet der Brennstoffzelle notwendig. Die Schmelzkarbonat-Brennstoffzelle kann durch ein komplexes, semilineares System partieller differential-algebraischer Gleichungen modelliertwerden, das sich aus partiellen Reaktions-Diffusionsgleichungen parabolischen Typs, Reaktions-Transportgleichungen hyperbolischen Typs, gewöhnlichen Differentialgleichungen und algebraischen Gleichungen zusammensetzt, wobei die Randbedingungen durch ein zusätzliches, nichtlineares gewöhnliches Integro-Differentialgleichungssystem gegeben sind. Inwieweit eine analytische oder numerische Lösung dieses Gleichungssystems generiert und damit das statische und dynamische Verhalten der Brennstoffzelle am Modell untersucht werden kann, hängt von der Art der Differentialgleichungen und ihren besonderen Eigenschaften ab. Neben dieser Prozessanalyse sollen jedoch auch die in der Brennstoffzelle ablaufenden Prozesse gesteuert, speziell optimal gesteuert, werden. Dazu wird ausgehend vom Differentialgleichungssystem ein Optimalsteuerungsproblem aufgestellt, dessen analytische und numerische Lösbarkeit eng mit der Lösbarkeit des Differentialgleichungssystems verknüpft ist. Zusätzlich wird die Lösung dieses Optimalsteuerungsproblems durch Ungenauigkeiten in der zugrundeliegenden Datenbasis erschwert, die keine exakten und allgemeingültigen Werte für die Modellparameter liefert. Es muss daher neben der Suche nach einer optimalen Lösung auch betrachtet werden, inwieweit schon geringe Störungen der Modellparameter die Lösung ändern. Ziel dieser Arbeit ist das maßgebliche dynamische Verhalten von Schmelzkarbonat-Brennstoffzellen hinsichtlich Fragen zur Prozessführung zu analysieren und auf Basis dieser Ergebnisse Konzepte zur optimierten Prozessführung zu entwickeln. Zu diesem Zweck beschäftigt sich diese Arbeit mit der Simulation, der optimalen Steuerung und der Sensitivitätsanalyse des mathematischen Modells einer Schmelzkarbonat-Brennstoffzelle. Basierend auf einer Untersuchung zur Existenz von Lösungen für Teilmodelle bzw. einzelne Gleichungen wird die numerische Lösung des Differentialgleichungsmodells präsentiert. Als Steuerungsszenario wird ein Lastwechsel, d.h. ein plötzlich auftretender Wechsel der Stromstärke, betrachtet. Das Ziel ist, nach dem Lastwechsel mithilfe einer optimalen Randsteuerung möglichst schnell in den neuen stationären Zustand zu gelangen und damit die Effizienz der Zelle zu steigern. Ein zweites Anliegen ist, eine möglichst gleichmäßige Temperaturverteilung zu erreichen, um Materialspannungen zu vermeiden und damit die Lebensdauer der Zelle zu erhöhen. Dabei muss jedoch auch die Abhängigkeit der Ergebnisse der Optimalen Steuerung von Störungen in den Modellparametern mittels einer Sensitivitätsanalyse untersucht werden.
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Beiträge zur Optimalen Steuerung partiell-differential algebraischer Gleichungen
(2012)
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Armin Rund
- Diese Arbeit liefert Beiträge zur Optimalen Steuerung partiell-differential algebraischer Gleichungen. Insbesondere werden Zustandsbeschränkungen bei der Optimalen Steuerung gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen sowie gekoppelter Systeme untersucht. Die verschiedenen Konzepte dieser Gebiete werden verglichen, übertragen und eingeordnet. Zentrale Ergebnisse sind die Übertragung der notwendigen Bedingungen nach Bryson, Denham und Dreyfus auf elliptische Optimalsteuerungsprobleme mit punktweisen Zustandsbeschränkungen, die Übertragung von Sprungbedingungen und Maßdarstellungen auf ein ODE-PDE beschränktes Optimalsteuerungsproblem mit Zustandsbeschränkungen bei niederdimensionalen aktiven Mengen, sowie die Entwicklung effizienter numerischer Methoden für komplexe Anwendungsprobleme. Die Beiträge dieser Arbeit gliedern sich in vier Kapitel, deren Aspekte jeweils zusammengefasst werden: Zunächst werden die Grundlagen aus der Optimalen Steuerung gewöhnlicher Differentialgleichungen mit Zustandsbeschränkungen wiederholt. Die beiden geläufigen notwendigen Bedingungen nach Jacobson, Lele und Speyer, sowie nach Bryson, Denham und Dreyfus (BDD-Ansatz) werden erläutert und in den Zusammenhang der Optimalen Steuerung partieller Differentialgleichungen gestellt. Dabei wird der Zusammenhang zwischen den Sprungbedingungen und dem Borel-Maß hergestellt. In Kapitel 2 wird der BDD-Ansatz auf ein Optimalsteuerungsproblem einer elliptischen partiellen Differentialgleichung mit punktweisen Zustandsbeschränkungen und verteilten aktiven Mengen übertragen. Die Idee dieses BDD-Ansatzes ist es, die Zustandsbeschränkung auf der aktiven Menge äquivalent in eine Steuerungs-Zustandsbeschränkung oder ggf. eine reine Steuerungsbeschränkung zu transformieren. Dies erlaubt die Herleitung neuer notwendiger Bedingungen. Durch die Transformation der Zustandsbeschränkungen gewinnen die zugehörigen Lagrange-Multiplikatoren an Regularität. Man erhält aus den neuen notwendigen Bedingungen ein Randwertproblem auf verschiedenen Gebieten mit Übergangsbedingungen. Das Interface zwischen den verschiedenen Gebieten stellt eine Optimierungsvariable dar. Eine notwendige Bedingung am Interface wird mit Techniken der Shapeoptimierung hergeleitet. Das Kapitel 3 behandelt Zustandsbeschränkungen bei gemischten ODE-PDE Problemen: Anhand eines zeitabhängigen Anwendungsproblems - des sogenannten Rocketcars - lässt sich eine vollständige Darstellung des Borel-Maßes auf niederdimensionalen aktiven Mengen angeben. In der Folge lassen sich Sprungbedingungen und weitgehende Regularitätsaussagen herleiten. Die explizite Massdarstellung ermöglicht weiterhin die Formulierung als Mehrpunkt-Anfangsrandwertproblem und den Einsatz angepasster Lösungsmethoden. Kapitel 4 widmet sich schließlich einem komplexen Anwendungsproblem eines OC-PDAE: Ein Brennstoffzellenmodell stellt uns vor ein Optimalsteuerungsproblem eines Systems von partiell-differentiell algebraischen Gleichungen. Es werden notwendige Bedingungen hergeleitet und direkte sowie indirekte (adjungierten-basierte) Methoden der Optimalen Steuerung entwickelt und verglichen. Numerische Experimente bestätigen die Effizienz der vorgestellten Methoden. Insbesondere das indirekte Quasi-Newton-Verfahren erlaubt eine zeitadaptive optimale Steuerung der Brennstoffzellenanlage mit hoher Genauigkeit und unter geringer Rechenzeit.
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Shape Calculus Applied to Elliptic Optimal Control Problems
(2012)
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Michael Frey
- This thesis is devoted to the analysis of a very simple, pointwisely state-constrained optimal control problem of an elliptic partial differential equation. The transfer of an idea from the field of optimal control of ordinary differential equations, which proved fruitful with respect to both theoretical treatment and design of algorithms, is the starting point. On this, the state inequality constraint, which is regarded as an equation inside the active set, is differentiated in order to obtain a control law.
A geometrical splitting of the constraints is necessary to carry over this approach to the chosen model problem. The associated assertions are rigorously ensured. The subsequent derivation of a control law in the sense of the abovementioned idea yields an equivalent reformulation of the model problem. The active set appears as an independent and equal optimization variable in this new formulation. Thereby a new class of optimization problem is established, which forms a hybrid of optimal control and shape-/topology optimization: set optimal control. This class is integrated into the very abstract framework of optimization on vector bundles; for that purpose some important notions from the field of calculus on manifolds are introduced and related with shape calculus.
First order necessary conditions of the set optimal control problem are derived by means of two different approaches: on the one hand a reduced approach via the elimination of the state variable, which uses a formulation as bilevel optimization problem, is pursued, and on the other hand a formal Lagrange principle is presented.
A comparison of the newly obtained optimality conditions with those known form literature yields relations between the Lagrange multipliers; in particular, it becomes apparent that the new approach involves higher regularity. The comparison is embedded to the theory of partial differential-algebraic equations, and it is shown that the new approach yields a reduction of the differential index.
Upon investigation of the gradient and the second covariant derivative of the objective functional different Newton- and trial algorithms are presented and discussed in detail. By means of a comparison with the well-established primal-dual active set method different benefits of the new approach become apparent. In particular, the new algorithms can be formulated in function space without any regularization. Some numerical tests illustrate that an efficient and competitive solution of state-constrained optimal control problems is achieved.
The whole work gives numerous references to different mathematical disciplines and encourages further investigations. All in all, it should be regarded as a first step towards a more comprehensive perspective on state-constrained optimal control of partial differential equations.
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The Stochastic Guaranteed Service Model with Recourse for Multi-Echelon Warehouse Management
(2012)
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Jörg Rambau
Konrad Schade
- The Guaranteed Service Model (GSM) computes optimal order-points in multi-echelon inventory control under the assumptions that delivery times can be guaranteed and the demand is bounded. Our new Stochastic Guaranteed Service Model (SGSM) with Recourse covers also scenarios that violate these assumptions. Simulation experiments on real-world data of a large German car manufacturer show that policies based on the SGSM dominate GSM-policies.
