5 search hits
-
Derived categories of coherent sheaves on rational homogeneous manifolds
(2005)
-
Christian Böhning
- Abstract. One way to reformulate the celebrated theorem of Beilinson is that $(\mathcal{O}(-n),\dots , \mathcal{O})$ and $(\Omega^n(n), \dots , \Omega^1 (1), \mathcal{O})$ are strong complete exceptional sequences in $D^b(Coh\,\mathbb{P}^n)$, the bounded derived category of coherent sheaves on $\mathbb{P}^n$. In a series of papers M. M. Kapranov generalized this result to flag manifolds of type $A_n$ and quadrics. In another direction, Y. Kawamata has recently proven existence of complete exceptional sequences on toric varieties. Starting point of the present work is a conjecture of F. Catanese which says that on every rational homogeneous manifold $X=G/P$, where $G$ is a connected complex semisimple Lie group and $P\subset G$ a parabolic subgroup, there should exist a complete strong exceptional poset and a bijection of the elements of the poset with the Schubert varieties in $X$ such that the partial order on the poset is the order induced by the Bruhat-Chevalley order. An answer to this question would also be of interest with regard to a conjecture of B. Dubrovin which has its source in considerations concerning a hypothetical mirror partner of a projective variety $Y$: There is a complete exceptional sequence in $D^b(Coh\, Y)$ if and only if the quantum cohomology of $Y$ is generically semisimple (the complete form of the conjecture also makes a prediction about the Gram matrix of such a collection). A proof of this conjecture would also support M. Kontsevich's homological mirror conjecture, one of the most important open problems in applications of complex geometry to physics today. The goal of this work will be to provide further evidence for F. Catanese's conjecture, to clarify some aspects of it and to supply new techniques. In section 2 it is shown among other things that the length of every complete exceptional sequence on $X$ must be the number of Schubert varieties in $X$ and that one can find a complete exceptional sequence on the product of two varieties once one knows such sequences on the single factors, both of which follow from known methods developed by Rudakov, Gorodentsev, Bondal et al. Thus one reduces the problem to the case $X=G/P$ with $G$ simple. Furthermore it is shown that the conjecture holds true for the sequences given by Kapranov for Grassmannians and quadrics. One computes the matrix of the bilinear form on the Grothendieck $K$-group $K_{\circ}(X)$ given by the Euler characteristic with respect to the basis formed by the classes of structure sheaves of Schubert varieties in $X$; this matrix is conjugate to the Gram matrix of a complete exceptional sequence. Section 3 contains a proof of theorem 3.2.7 which gives complete exceptional sequences on quadric bundles over base manifolds on which such sequences are known. This enlarges substantially the class of varieties (in particular rational homogeneous manifolds) on which those sequences are known to exist. In the remainder of section 3 we consider varieties of isotropic flags in a symplectic resp. orthogonal vector space. By a theorem due to Orlov (thm. 3.1.5) one reduces the problem of finding complete exceptional sequences on them to the case of isotropic Grassmannians. For these, theorem 3.3.3 gives generators of the derived category which are homogeneous vector bundles; in special cases those can be used to construct complete exceptional collections. In subsection 3.4 it is shown how one can extend the preceding method to the orthogonal case with the help of theorem 3.2.7. In particular we prove theorem 3.4.1 which gives a generating set for the derived category of coherent sheaves on the Grassmannian of isotropic 3-planes in a 7-dimensional orthogonal vector space. Section 4 is dedicated to providing the geometric motivation of Catanese's conjecture and it contains an alternative approach to the construction of complete exceptional sequences on rational homogeneous manifolds which is based on a theorem of M. Brion (thm. 4.1.1) and cellular resolutions of monomial ideals a la Bayer/Sturmfels. We give a new proof of the theorem of Beilinson on $\mathbb{P}^n$ in order to show that this approach might work in general. We also prove theorem 4.2.5 which gives a concrete description of certain functors that have to be investigated in this approach.
-
Zur Moritheorie auf Kählerdreifaltigkeiten mit höchstens terminalen Singularitäten
(2005)
-
Wolfgang Kronenthaler
- In den späten Neunzigern beginnen F. Campana und Th. Peternell mit der Entwicklung eines Analogons zur Moritheorie projektiver Varietäten für glatte kompakte Kählerdreifaltigkeiten. Dabei zeigen sie unter anderem die Existenz spezieller Kontraktionsabbildungen mit Hilfe von nicht-spaltenden Familien rationaler Kurven, die als Pendant zu den extremalen Kontraktionen der Moritheorie gedacht sind. Beabsichtigt man mit Hilfe dieser Kontraktionsabbildungen ein "minimales Modell-Programm" für kompakte Kählerdreifaltigkeiten zu implementieren, so benötigt man die Existenz solcher Abbildungen auch für Kählerdreifaltigkeiten mit höchstens terminalen Singularitäten. Die Realisierung dieser Verallgemeinerung, aufbauend auf den Techniken aus den Arbeiten der genannten Autoren (wobei die Kontraktion auf eine Kurve nur für Gorenstein-Kählerdreifaltigkeiten nachgewiesen wird), ist genau der Inhalt dieser Arbeit. Den Gegenstand der Untersuchungen dieser Arbeit bilden also Q-faktorielle (nicht-projektive) kompakte Kählerdreifaltigkeiten X mit höchstens terminalen Singularitäten. Unterstellt wird jeweils die Existenz einer nicht-spaltenden Familie (C_t) rationaler Kurven mit dim T >= 1 und (-K_X.C_t ) > 0. Ist die Familie (C_t) überdeckend, hat man F. Campanas geometrischen Quotienten zur Verfügung. Mit dessen Hilfe weist man nach: Satz 1: Sei X eine Q-faktorielle kompakte Kählerdreifaltigkeit mit höchstens terminalen Singularitäten und (C_t) eine überdeckende nicht-spaltende Familie rationaler Kurven. Dann ist X projektiv, es sei denn, es handelt sich um ein P_1-Bündel über einer nicht-projektiven glatten kompakten Kählerfläche mit den Kurven C_t als Fasern. Ist die Familie (C_t) nicht überdeckend und füllt stattdessen nur einen irreduziblen reduzierten Divisor S aus, unterscheidet man danach, ob ein Punkt x_0 in S existiert, durch den alle Kurven einer 1-dimensionalen (Teil-)Familie verlaufen oder nicht. Existiert solch ein Punkt x_0, gilt es, die Fläche S durch Anwendung des Grauertschen Kontraktionssatzes auf einen Punkt in einer Q-faktoriellen Cohen-Macaulayvarietät Y mit höchstens terminalen Singularitäten zu kontrahieren. Man erhält als Ergebnis: Satz 2: Sei X eine Q-faktorielle nicht-projektive kompakte Kählerdreifaltigkeit mit höchstens terminalen Singularitäten und (C_t) eine nicht-spaltende Familie rationaler Kurven mit der Eigenschaft (-K_X.C_t) > 0. Die Familie (C_t) sei entweder 1-dimensional und es gebe einen Punkt x_0 in X, durch den alle Kurven der Familie (C_t) verlaufen, oder 2-dimensional, aber überdecke die Dreifaltigkeit X nicht. Bezeichnet S diejenige (irreduzible reduzierte) Fläche in X, die von den Kurven der Familie (C_t) ausgefüllt wird, so existieren eine kompakte Q-faktorielle Cohen-Macaulayvarietät Y mit höchstens terminalen Singularitäten und eine holomorphe Abbildung f: X -> Y, sodass gilt: 1.) f(S) = pt; 2.) Die eingeschränkte Abbildung f: X-S -> Y-{pt} ist biholomorph. Existiert kein Punkt x_0 wie oben beschrieben, unterscheidet man weiter, ob "(S.C_t) < 0" oder "(S.C_t) >= 0" gilt. Im erstgenannten Fall setzt man sich die Kontraktion auf eine Kurve (wieder in einer Q-faktoriellen Cohen-Macaulayvarietät Y mit höchstens terminalen Singularitäten) zur Aufgabe. Im zweitgenannten Fall findet man entweder eine divisorielle Kontraktion auf einen Punkt oder eine Kurve mit Hilfe einer alternativen nicht-spaltenden Familie rationaler Kurven (C'_t) oder X besitzt die Struktur eines Konikbündels über einer normalen Fläche W. Aus technischen Gründen beschränke ich mich auf den Gorensteinfall: Satz 3: Sei X eine Q-faktorielle nicht-projektive kompakte Gorenstein-Kählerdreifaltigkeit mit höchstens terminalen Singularitäten und (C_t) eine 1-dimensionale nicht-spaltende Familie rationaler Kurven mit der Eigenschaft (-K_X.C_t) > 0. Die Familie (C_t) sei maximal, d.h. T sei eine (irreduzible) Komponente im Douadyraum von X, und es gebe keinen Punkt x in X, durch den alle Kurven der Familie (C_t) verlaufen. Es bezeichne S diejenige (irreduzible reduzierte) Fläche in X, die von den Kurven der Familie (C_t) ausgefüllt wird. I) Ist (S.C_t) < 0, so gilt: 1. S ist isomorph zu einer P_1-Faserung über einer eventuell singulären Kurve B mit den Kurven C_t als Fasern (mengentheoretisch) und (S.C_t) = -1; 2. Es existieren eine kompakte Q-faktorielle Gorensteinvarietät Y mit höchstens terminalen Singularitäten und eine holomorphe Abbildung f: X -> Y, sodass gilt: a) f(S) = B; b) Die eingeschränkte Abbildung f: X-S -> Y-B ist biholomorph. II) Ist (S.C_t) >= 0, so existiert entweder eine divisorielle Kontraktion auf eine kompakte Q-faktorielle Cohen-Macaulayvarietät \tilde{X} mit höchstens terminalen Singularitäten oder X besitzt die Struktur eines Konikbündels über einer normalen Fläche W.
-
Weintrauben, Polynome, Tableaux
(1990)
-
Axel Kohnert
- Schubert Polynome wurden von Lascoux und Schützenberger definiert. Sie stellen eine Verallgemeinerung der bekannten Schur Polynome dar. Für ein Schur Polynom gibt es eine kombinatorische Interpretation. Es ist die erzeugende Funktion von Tableaux mit vorgegebenen Eigenschaften. In dieser Arbeit wird eine neue kombinatorische Struktur definiert (= Weintrauben). Die Vermutung ist, dass ein Schubert Polynom die erzeugende Funktion spezieller Weintrauben ist. Dies wird für ein Teil der Schubert Polynome in dieser Arbeit gezeigt. Der allgemeine Fall ist noch offen.
-
The classification of isotrivially fibred surfaces with p_g=q=2, and topics on Beauville surfaces
(2010)
-
Matteo Penegini
- In our thesis we treat mainly two topics: the classification of isotrivially fibred surfaces with p_g=q=2, and the construction of new Beauville surfaces. An isotrivially fibred surface is a smooth projective surface endowed with a morphism onto a smooth curve such that all the smooth fibres are isomorphic to each other. The first goal of this thesis is to classify the isotrivially fibred surfaces with p_g=q=2 completing and extending a result by Zucconi. As an important byproduct, we provide new examples of minimal surfaces of general type with p_g=q=2 and K^2=4,5 and the first example with K^2=6. We say that a surface S is isogenous to a product of curves if S = (C times F )/G, for C and F smooth curves and G a finite group acting freely on C times F. Beauville surfaces are a special case of surfaces isogenous to a product. In this thesis we include part of a joint work with Shelly Garion, in which we construct new Beauville surfaces with group G either PSL(2,p^e), or A_n, or S_n, proving a conjecture of Bauer, Catanese and Grunewald. The proofs rely on probabilistic group theoretical results of Liebeck and Shalev, and on classical results of Macbeath. The thesis is divided into three chapters, which are subdivided in several sections. In the first chapter we treat the problem of the classification of isotrivially fibred surfaces with p_g=q=2. We start by recalling some basic facts and theorems about fibred surfaces and surfaces isogenous to a higher product of curves. Then we solve the classification problem using techniques coming from both geometry and combinatorial group theory. In the second chapter we deal with Beauville surfaces. First we give a group theoretical characterization of them. Then we enunciate a theorem of Liebeck and Shalev that we use for the construction of Beauville surfaces with group A_n or S_n. Afterwards we also study Beauville surfaces with group PSL(2,p^e). In the third chapter we give a description of the locus, in the moduli space of surfaces of general type, corresponding to the surfaces isogenous to a product with p_g=q=2 described in the first chapter. Indeed, by the results proven by Catanese, this locus is a union of connected components, whose number can be computed using a theorem of Bauer and Catanese. In the same way we are able to provide an asymptotic result about the number of connected components of the moduli space corresponding to certain families of Beauville surfaces with group either PSL(2,p^e), or A_n, or (mathbb{Z}/nmathbb{Z})^2 as p and n go to infinity.
-
THE INDEX THEOREM FOR QUASI-TORI
(2013)
-
Tsz On Mario Chan
- The Index theorem for holomorphic line bundles on complex tori
asserts that some cohomology groups of a line bundle vanish according
to the numbers of negative and positive eigenvalues of the associated
hermitian form. In this thesis, this theorem is generalized to quasi-tori,
i.e. connected complex abelian Lie groups which are not necessarily
compact. In view of the Remmert–Morimoto decomposition of
quasi-tori as well as the Künneth formula, it suffices to consider only
Cousin-quasi-tori, i.e. quasi-tori which have no non-constant holomorphic
functions. The Index theorem is generalized to holomorphic line
bundles, both linearizable and non-linearizable, on Cousin-quasi-tori
using L2-methods coupled with the Kazama–Dolbeault isomorphism
and Bochner–Kodaira formulas.
