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Zur Moritheorie auf Kählerdreifaltigkeiten mit höchstens terminalen Singularitäten
(2005)
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Wolfgang Kronenthaler
- In den späten Neunzigern beginnen F. Campana und Th. Peternell mit der Entwicklung eines Analogons zur Moritheorie projektiver Varietäten für glatte kompakte Kählerdreifaltigkeiten. Dabei zeigen sie unter anderem die Existenz spezieller Kontraktionsabbildungen mit Hilfe von nicht-spaltenden Familien rationaler Kurven, die als Pendant zu den extremalen Kontraktionen der Moritheorie gedacht sind. Beabsichtigt man mit Hilfe dieser Kontraktionsabbildungen ein "minimales Modell-Programm" für kompakte Kählerdreifaltigkeiten zu implementieren, so benötigt man die Existenz solcher Abbildungen auch für Kählerdreifaltigkeiten mit höchstens terminalen Singularitäten. Die Realisierung dieser Verallgemeinerung, aufbauend auf den Techniken aus den Arbeiten der genannten Autoren (wobei die Kontraktion auf eine Kurve nur für Gorenstein-Kählerdreifaltigkeiten nachgewiesen wird), ist genau der Inhalt dieser Arbeit. Den Gegenstand der Untersuchungen dieser Arbeit bilden also Q-faktorielle (nicht-projektive) kompakte Kählerdreifaltigkeiten X mit höchstens terminalen Singularitäten. Unterstellt wird jeweils die Existenz einer nicht-spaltenden Familie (C_t) rationaler Kurven mit dim T >= 1 und (-K_X.C_t ) > 0. Ist die Familie (C_t) überdeckend, hat man F. Campanas geometrischen Quotienten zur Verfügung. Mit dessen Hilfe weist man nach: Satz 1: Sei X eine Q-faktorielle kompakte Kählerdreifaltigkeit mit höchstens terminalen Singularitäten und (C_t) eine überdeckende nicht-spaltende Familie rationaler Kurven. Dann ist X projektiv, es sei denn, es handelt sich um ein P_1-Bündel über einer nicht-projektiven glatten kompakten Kählerfläche mit den Kurven C_t als Fasern. Ist die Familie (C_t) nicht überdeckend und füllt stattdessen nur einen irreduziblen reduzierten Divisor S aus, unterscheidet man danach, ob ein Punkt x_0 in S existiert, durch den alle Kurven einer 1-dimensionalen (Teil-)Familie verlaufen oder nicht. Existiert solch ein Punkt x_0, gilt es, die Fläche S durch Anwendung des Grauertschen Kontraktionssatzes auf einen Punkt in einer Q-faktoriellen Cohen-Macaulayvarietät Y mit höchstens terminalen Singularitäten zu kontrahieren. Man erhält als Ergebnis: Satz 2: Sei X eine Q-faktorielle nicht-projektive kompakte Kählerdreifaltigkeit mit höchstens terminalen Singularitäten und (C_t) eine nicht-spaltende Familie rationaler Kurven mit der Eigenschaft (-K_X.C_t) > 0. Die Familie (C_t) sei entweder 1-dimensional und es gebe einen Punkt x_0 in X, durch den alle Kurven der Familie (C_t) verlaufen, oder 2-dimensional, aber überdecke die Dreifaltigkeit X nicht. Bezeichnet S diejenige (irreduzible reduzierte) Fläche in X, die von den Kurven der Familie (C_t) ausgefüllt wird, so existieren eine kompakte Q-faktorielle Cohen-Macaulayvarietät Y mit höchstens terminalen Singularitäten und eine holomorphe Abbildung f: X -> Y, sodass gilt: 1.) f(S) = pt; 2.) Die eingeschränkte Abbildung f: X-S -> Y-{pt} ist biholomorph. Existiert kein Punkt x_0 wie oben beschrieben, unterscheidet man weiter, ob "(S.C_t) < 0" oder "(S.C_t) >= 0" gilt. Im erstgenannten Fall setzt man sich die Kontraktion auf eine Kurve (wieder in einer Q-faktoriellen Cohen-Macaulayvarietät Y mit höchstens terminalen Singularitäten) zur Aufgabe. Im zweitgenannten Fall findet man entweder eine divisorielle Kontraktion auf einen Punkt oder eine Kurve mit Hilfe einer alternativen nicht-spaltenden Familie rationaler Kurven (C'_t) oder X besitzt die Struktur eines Konikbündels über einer normalen Fläche W. Aus technischen Gründen beschränke ich mich auf den Gorensteinfall: Satz 3: Sei X eine Q-faktorielle nicht-projektive kompakte Gorenstein-Kählerdreifaltigkeit mit höchstens terminalen Singularitäten und (C_t) eine 1-dimensionale nicht-spaltende Familie rationaler Kurven mit der Eigenschaft (-K_X.C_t) > 0. Die Familie (C_t) sei maximal, d.h. T sei eine (irreduzible) Komponente im Douadyraum von X, und es gebe keinen Punkt x in X, durch den alle Kurven der Familie (C_t) verlaufen. Es bezeichne S diejenige (irreduzible reduzierte) Fläche in X, die von den Kurven der Familie (C_t) ausgefüllt wird. I) Ist (S.C_t) < 0, so gilt: 1. S ist isomorph zu einer P_1-Faserung über einer eventuell singulären Kurve B mit den Kurven C_t als Fasern (mengentheoretisch) und (S.C_t) = -1; 2. Es existieren eine kompakte Q-faktorielle Gorensteinvarietät Y mit höchstens terminalen Singularitäten und eine holomorphe Abbildung f: X -> Y, sodass gilt: a) f(S) = B; b) Die eingeschränkte Abbildung f: X-S -> Y-B ist biholomorph. II) Ist (S.C_t) >= 0, so existiert entweder eine divisorielle Kontraktion auf eine kompakte Q-faktorielle Cohen-Macaulayvarietät \tilde{X} mit höchstens terminalen Singularitäten oder X besitzt die Struktur eines Konikbündels über einer normalen Fläche W.
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Konstruktion und Eigenschaften ganzzahliger Punktmengen
(2005)
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Sascha Kurz
- In vielen Anwendungen in der Chemie, Physik, Biologie und in den Ingenieurswissenschaften treten diskrete Strukturen auf. Beispiele solcher diskreter Strukturen sind molekulare Graphen, fehler-korrigierende Codes, Designs, Matroide, Schaltfunktionen, Assoziationsschemata, endliche Geometrien oder Netzwerke. Die bloße theoretische Existenz einer solchen Struktur, auch mit den sich aus den Anwendungen ergebenen Nebenbedingungen, nutzt dem Anwender meist recht wenig. Die Herausforderung der sich die Mathematik in diesem Zusammenhang stellen muss, ist das schnelle redundanzfreie Erzeugen diskreter Strukturen unter Berücksichtigung von Nebenbedingungen. In dieser Dissertation sollen Punktmengen im Euklidischen Raum E^m mit paarweise ganzzahligen Abständen betrachtet werden. Für die Wahl dieses scheinbar recht speziellen Themas gibt es eine Reihe von Gründen. Zum einen gibt es interessante Anwendungen für dieses Problem, von denen wir ein paar im nächsten Kapitel vorstellen möchten. Die Fragestellung ist weiterhin mathematisch sehr interessant, da sie mehrere mathematische Teildisziplinen berührt. Zu nennen wären hier die Geometrie, Gruppentheorie, Zahlentheorie, Graphentheorie und Kombinatorik. Für die allgemeine Theorie der Konstruktion diskreter Strukturen sind die ganzzahligen Punktmengen von Interesse, da man hier nicht mit einem einzigen Konstruktionsalgorithmus zu befriedigenden Resultaten kommen kann, sondern fast die gesamte Bandbreite der bekannten allgemeinen Konstruktionsalgorithmen ausnutzen muss. Das Vorhandensein von stark einschränkenden Nebenbedingungen ist eine weitere sehr willkommene Eigenschaft. Ziel der Dissertation ist es, die Struktur und die Eigenschaften ganzzahliger Punktmengen genauer als bisher bekannt aufzuklären und Algorithmen zu entwickeln, mit denen man diese diskreten Strukturen effizient konstruieren kann. Trotz des speziellen Problems können Erkenntnisse auf das allgemeine Konstruktionsproblem diskreter Strukturen übertragen werden. Im Rahmen dieser Arbeit wurde eine Reihe neuer Resultate erzielt: - Nach Vorarbeiten in Abschnitt 2.3 können wir in Abschnitt 2.4 den Begriff der Charakteristik eines Dreiecks auf Simplizes beliebiger Dimension verallgemeinern. Den für die Konstruktion ganzzahliger planarer Punktmengen äußerst wichtigen Satz, dass je zwei Dreiecke aus 3 nicht kollinearen Punkten einer ganzzahligen planaren Punktmenge dieselbe Charakteristik besitzen, übertragen wir entsprechend auf beliebige Dimensionen. - In Kapitel 3 präsentieren wir eine Variante der ordnungstreuen Erzeugung, die für die Konstruktion ganzzahliger Punktmengen bzw. allgemeiner für die Konstruktion diskreter Strukturen mit strukturell ähnlichen, starken Nebenbedingungen besonders geeignet ist. - Den Eigenschaften und der Berechnung der Charakteristik von ganzzahligen Punktmengen haben wir uns in Kapitel 4 gewidmet. Die dortigen Betrachtungen führen unter anderem zu theoretischen Einsichten in die Struktur ganzzahliger planarer Punktmengen bzw. zu einer Laufzeitabschätzung für die von uns verwendete Konstruktionsmethode (in unserem Spezialfall). - In Kapitel 5 erweitern wir die Liste der bekannten minimalen Durchmesser ganzzahliger planarer Punktmengen. Bisher waren die minimalen Durchmesser ganzzahliger planarer Punktmengen aus n Punkten nur für n<=9 bekannt. In Abschnitt 5.4 bestimmen wir sie für n<=89. Für eine bestimmte Klasse ganzzahliger planarer Punktmengen haben wir in Abschnitt 5.2 die richtige Größenordnung des minimalen Durchmessers bestimmt. Für ganzzahlige planare Punktmengen ohne 3 kollineare Punkte waren die minimalen Durchmesser bisher ebenfalls nur für n<=9 bekannt. In Abschnitt 5.5 haben wir sie für n<=36 bestimmt. - Die Liste der bekannten minimalen Durchmesser von ganzzahligen räumlichen Punktmengen aus n Punkten konnten wir in Abschnitt 9.1 erweitern. Für n=9 mussten wir einen Wert aus der Literatur korrigieren und für 11<=n<=23 haben wir sie erstmals bestimmt. - In Kapitel 10 bestimmen wir die Anzahl ganzzahliger m-dimensionaler Simplizes mit Durchmesser d für einige Paare von Werten von m und d. - In Abschnitt 11.1 behandeln wir ganzzahlige m-dimensionale Punktmengen aus m+2 Punkten. Bisher waren nur Beispiele in den Dimensionen m=3,8 bekannt. Wir zeigen, dass es für ungerade Dimensionen m>=3 immer mindestens eine solche ganzzahlige Punktmenge gibt. Durch eine vollständige Suche zeigen wir, dass es in den Dimensionen m=2,4,6 und 10 keine derartigen Punktmengen gibt. - Für ganzzahlige m-dimensionale Punktmengen aus m+2 Punkten kann der minimale Durchmesser nur 3 oder 4 betragen. Bisher war nur bekannt, dass die untere Schranke 3 in den Dimensionen m=3,6,8 angenommen wird. In Abschnitt 11.2 zeigen wir, dass sie auch für 9<=m<=24 angenommen wird.
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Eine $L^q$-Theorie des Cosseratspektrums in beschränkten Gebieten und Außengebieten
(2005)
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Stephan Weyers
- In der vorliegenden Arbeit wird die Frage untersucht, für welche (Eigenwerte) a in R nichttriviale klassische oder schwache $L^q$-Lösungen (Eigenfunktionen) des Cosseratspektrums existieren $$ \Delta \U u = a \nabla \Div \U u, \qquad \U u \Big|_{\partial G}=0 $$ wobei G ein beschränktes Gebiet oder ein Außengebiet ist. Dieses Problem wurde erstmals von den Brüdern Eugène und Francois Cosserat untersucht. Es ist ein Spezialfall der Lamé-Gleichung und beschreibt die Auslenkung eines linearen, isotropen, homogenen elastischen Mediums ohne Einwirkung einer äußeren Kraft im statischen Fall. In dieser Arbeit wird das schwache Cosseratspektrum für beschränkte Gebiete und Außengebiete und 1<q bestimmt. Es ist a = 1 Eigenwert unendlicher Vielfachheit und a = 2 Häufungspunkt von Eigenwerten endlicher Vielfachheit. Die Gebrüder Cosserat (1900) bestimmten das klassische Cosseratspektrum für spezielle Gebiete wie Kugel, Annulus und Ellipsoid. Allgemeine Resultate stammen von Mikhlin (1973), der das Cosseratspektrum im Fall n=3 und q=2 bestimmte, und Kozhevnikov (1993), der beschränkte Gebiete im Fall n=3 und q=2 behandelte. Kozhevnikovs Beweis beruht auf der Theorie der Pseudodifferentialoperatoren. Faierman, Fries, Mennicken und Möller (2000) führten einen direkten Beweis für beschränkte Gebiete, n>=2 und q=2. Michel Crouzeix gelang 1997 ein sehr einfacher Beweis für beschränkte Gebiete, n=2,3 und q=2. In dieser Arbeit wird die Beweisidee von Crouzeix aufgegriffen, und die obigen Resultate werden für beschränkte Gebiete und Außengebiete, n>=2 und 1<q gezeigt. Ein weiteres Resultat ist, dass die Eigenräume zu Eigenwerten a in R\{1,2} nicht von q abhängen. Für diese Eigenfunktionen existieren höhere (klassische) Ableitungen. Deshalb ist auch für das klassische Cosseratspektrum a =2 Häufungspunkt von Eigenwerten. a =1 ist auch klassisch immer ein Eigenwert. Aus der Lösung des Cosseratspektrums folgt als Anwendung ein Zusammenhang zwischen der Greenschen Funktion zum Laplace-Operator und dem reproduzierenden Kern in Bergman-Räumen.
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Weintrauben, Polynome, Tableaux
(1990)
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Axel Kohnert
- Schubert Polynome wurden von Lascoux und Schützenberger definiert. Sie stellen eine Verallgemeinerung der bekannten Schur Polynome dar. Für ein Schur Polynom gibt es eine kombinatorische Interpretation. Es ist die erzeugende Funktion von Tableaux mit vorgegebenen Eigenschaften. In dieser Arbeit wird eine neue kombinatorische Struktur definiert (= Weintrauben). Die Vermutung ist, dass ein Schubert Polynom die erzeugende Funktion spezieller Weintrauben ist. Dies wird für ein Teil der Schubert Polynome in dieser Arbeit gezeigt. Der allgemeine Fall ist noch offen.
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Konstruktion von Isomorphieklassen orientierter Matroide
(2005)
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Ralf Gugisch
- Es werden sowohl theoretische Aspekte als auch Details zur Implementierung eines Generators von orientierten Matroiden und deren Isomorphieklassen besprochen.
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Die schwache Lösung des dritten Randwertproblems der statischen Elastizitätstheorie in $L^q$ für das Differentialgleichungssystem $\Delta\underline{u}+\lambda\nabla div\underline{u}=div\underline{\underline{f}}$ im beschränkten Gebiet und Außengebiet
(2006)
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Alexander Gerlach
- In dieser Arbeit wird die Lamégleichung $$\Delta\underline{u}+\lambda \nabla div\underline{u}=div \underline{\underline{f}}$$ mit den Randbedingungen (Wobei $T^{(j)}(x)=(T^{(j)}_1(x),...,T^{(j)}_n(x)),\;j=1,...,n-1$ die Basis des Tangentialraumes von $\partial\Omega$ in $x$ und $\underline{N}$ die äußere Normale ist.) I) $$\left.\sum_{i,k=1}^n \partial_i u_k T_k^{(j)} N_i\right|_{\partial\Omega}= \left.\sum_{i,k=1}^n f_{ik}T_k^{(j)} N_i\right|_{\partial\Omega}$$ und $$\left.<\underline{u},\underline{N}>\right|_{\partial\Omega}=0,$$ II) $$\left.\sum_{i,k=1}^n\left[ \partial_i u_k T_k^{(j)} N_i+ \partial_k u_i T_k^{(j)} N_i\right]\right|_{\partial\Omega}=\left.\sum_{i,k=1}^n f_{ik}T_k^{(j)} N_i\right|_{\partial\Omega}$$ und $$\left.<\underline{u},\underline{N}>\right|_{\partial\Omega}=0$$ im Rahmen der schwachen $L^q$-Theorie für beschränkte Gebiete und Außengebiete untersucht. Weiter wird die Existenz eines $\underline{u}\in \underline{Y}^{1,q}(\Omega)$ mit (Randbedingung I) $$<\nabla\underline{u},\nabla\underline{\Phi}>_\Omega+\lambda_1<div\underline{u},div\underline{\Phi}>_\Omega=\sum_{i,k=1}^n\underset{\Omega}{\int}f_{ik}\partial_i \Phi_k dx\text{ für alle }\underline{\Phi}\in\underline{Y}^{1,q'}(\Omega)$$ beziehungsweise ein $\underline{u}$ in einem passend gewähltem Teilraum $\underline{Z}^q(\Omega)\subset \underline{Y}^{1,q}(\Omega)$ mit (Randbedingung II) $$\frac{1}{2}<\epsilon(\underline{u}),\epsilon(\underline{\Phi})>_\Omega+\left(\lambda_2-1\right)<div\underline{u},div\underline{\Phi}>_\Omega=\sum_{i,k=1}^n\underset{\Omega}{\int}f_{ik}\partial_i \Phi_k dx\text{ für alle }\underline{\Phi}\in\underline{Z}^{q'}(\Omega).$$ gezeigt. Eine schwache Lösung, die regulär bis zum Rande angenommen wird, erfüllt dann die Randbedingungen I beziehungsweise II.
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Simulation, Optimale Steuerung und Sensitivitätsanalyse einer Schmelzkarbonat-Brennstoffzelle mithilfe eines partiellen differential-algebraischen dynamischen Gleichungssystems
(2006)
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Kati Sternberg
- Brennstoffzellen besitzen wegen ihrer Effizienz und den niedrigen Schadstoffemissionen ein hohes Zukunftspotential. Ein breiter Einsatz von Brennstoffzellen ist derzeit jedoch noch nicht möglich, sodass ein erheblicher Forschungs- und Entwicklungsbedarf besteht, der die Bereiche der Werkstoffentwicklung, der Brennstoffspeicherung, der Prozessanalyse sowie der Prozesssteuerung umfasst. Bei der Analyse und der Steuerung der chemisch-physikalischen Abläufe innerhalb der Zelle müssen insbesondere bei Hochtemperaturzellen wie der Schmelzkarbonat-Brennstoffzelle (englisch: molten carbonate fuel cell, MCFC) die Wechselwirkungen zwischen den einzelnen Komponenten der Brennstoffzelle bei hohen Temperaturen verstanden und vorhergesagt werden. Dazu ist eine formale Beschreibung für die zeitliche Entwicklung der Gasströme, der Temperatur und der elektrischen Spannung in Abhängigkeit der intern stattfindenden elektro-chemischen Reaktionen auf dem örtlich verteilten Gebiet der Brennstoffzelle notwendig. Die Schmelzkarbonat-Brennstoffzelle kann durch ein komplexes, semilineares System partieller differential-algebraischer Gleichungen modelliertwerden, das sich aus partiellen Reaktions-Diffusionsgleichungen parabolischen Typs, Reaktions-Transportgleichungen hyperbolischen Typs, gewöhnlichen Differentialgleichungen und algebraischen Gleichungen zusammensetzt, wobei die Randbedingungen durch ein zusätzliches, nichtlineares gewöhnliches Integro-Differentialgleichungssystem gegeben sind. Inwieweit eine analytische oder numerische Lösung dieses Gleichungssystems generiert und damit das statische und dynamische Verhalten der Brennstoffzelle am Modell untersucht werden kann, hängt von der Art der Differentialgleichungen und ihren besonderen Eigenschaften ab. Neben dieser Prozessanalyse sollen jedoch auch die in der Brennstoffzelle ablaufenden Prozesse gesteuert, speziell optimal gesteuert, werden. Dazu wird ausgehend vom Differentialgleichungssystem ein Optimalsteuerungsproblem aufgestellt, dessen analytische und numerische Lösbarkeit eng mit der Lösbarkeit des Differentialgleichungssystems verknüpft ist. Zusätzlich wird die Lösung dieses Optimalsteuerungsproblems durch Ungenauigkeiten in der zugrundeliegenden Datenbasis erschwert, die keine exakten und allgemeingültigen Werte für die Modellparameter liefert. Es muss daher neben der Suche nach einer optimalen Lösung auch betrachtet werden, inwieweit schon geringe Störungen der Modellparameter die Lösung ändern. Ziel dieser Arbeit ist das maßgebliche dynamische Verhalten von Schmelzkarbonat-Brennstoffzellen hinsichtlich Fragen zur Prozessführung zu analysieren und auf Basis dieser Ergebnisse Konzepte zur optimierten Prozessführung zu entwickeln. Zu diesem Zweck beschäftigt sich diese Arbeit mit der Simulation, der optimalen Steuerung und der Sensitivitätsanalyse des mathematischen Modells einer Schmelzkarbonat-Brennstoffzelle. Basierend auf einer Untersuchung zur Existenz von Lösungen für Teilmodelle bzw. einzelne Gleichungen wird die numerische Lösung des Differentialgleichungsmodells präsentiert. Als Steuerungsszenario wird ein Lastwechsel, d.h. ein plötzlich auftretender Wechsel der Stromstärke, betrachtet. Das Ziel ist, nach dem Lastwechsel mithilfe einer optimalen Randsteuerung möglichst schnell in den neuen stationären Zustand zu gelangen und damit die Effizienz der Zelle zu steigern. Ein zweites Anliegen ist, eine möglichst gleichmäßige Temperaturverteilung zu erreichen, um Materialspannungen zu vermeiden und damit die Lebensdauer der Zelle zu erhöhen. Dabei muss jedoch auch die Abhängigkeit der Ergebnisse der Optimalen Steuerung von Störungen in den Modellparametern mittels einer Sensitivitätsanalyse untersucht werden.
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Algebraische Approximation von Kählermannigfaltigkeiten
(2010)
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Florian Schrack
- Eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit heißt algebraisch approximierbar, wenn sie beliebig kleine projektive Deformationen besitzt. Eine natürliche Fragestellung ist, ob jede kompakte Kählermannigfaltigkeit algebraisch approximierbar ist. Während dies in Dimension 2 nach den Arbeiten von Kodaira richtig ist, hat Voisin vierdimensionale Gegenbeispiele gefunden. In Dimension 3 ist die Frage noch offen. Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, den dreidimensionalen Fall etwas näher zu beleuchten. Dazu wird algebraische Approximierbarkeit zunächst von einem allgemeinen Standpunkt aus betrachtet. Es werden Funktorialitätsfragen untersucht, also der Zusammenhang zwischen algebraischer Approximierbarkeit der Quelle und des Ziels gewisser holomorpher Abbildungen, und Ergebnisse für verschiedene Klassen von Abbildungen erzielt, wie etwa Aufblasungen, endliche Abbildungen, Faserungen und Morikontraktionen. Als Fallstudie einer konkreten Klasse von Kählerdreifaltigkeiten werden anschließend Konikbündel über Kählerflächen untersucht, die in natürlicher Weise in der Moritheorie auftreten. Nach dem Beweis einiger grundlegender Tatsachen über Konikbündel werden ihre Diskriminantenorte genauer untersucht und damit Chernklassenabschätzungen für Konikbündel mit relativer Picardzahl 1 über nichtalgebraischen kompakten Kählerflächen hergeleitet. Unter Verwendung dieser Abschätzungen wird die Existenz infinitesimaler Deformationen solcher Konikbündel gezeigt, was einen wichtigen ersten Schritt zum Beweis der algebraischen Approximierbarkeit darstellt. Ein spezieller Typ von Konikbündeln sind die projektivierten Rang-2-Bündel. Die Periodenabbildung verhilft zu einem guten Verständnis der Deformationstheorie solcher Bündel über K3-Flächen und zweidimensionalen Tori. Konkret werden Fortsetzungssätze für Geradenbündel und Rang-2-Bündel bewiesen, die implizieren, dass jedes projektivierte Rang-2-Bündel über einer K3-Fläche oder einem zweidimensionalen Torus algebraisch approximierbar ist. Durch Untersuchung von Aufblasungen solcher Flächen wird dieses Resultat auf projektivierte Rang-2-Bündel über beliebigen kompakten Kählerflächen mit Kodairadimension 0 ausgedehnt. Schließlich wird die zuvor entwickelte Deformationstheorie für Vektorbündel verwendet, um weitere Approximierbarkeitsergebnisse für Konikbündel über elliptischen Flächen und K3-Flächen zu bekommen.
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Klassifikation gewisser Darstellungen halbeinfacher Liealgebren
(2011)
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Ridvan Güner
- Zusammenfassung Die Arbeit behandelt folgende Fragen aus der Darstellungs- und Invariantentheorie halbeinfacher Liealgebren: Gegeben eine halbeinfache (meist: eine einfache) komplexe endlich dimensionale Liealgebra L . Betrachtet wird das Monoid M = M(L) der Äquivalenzklassen der endlich dimensionalen irreduziblen komplexen Darstellungen von L . M wird identifiziert mit dem Gitter der entsprechenden höchsten Gewichte (bezüglich einer ausgewählten Cartanalgebra von L und einer ausgewählten Basis der zugehörigen Wurzeln). Diese Identifizierung liefert die Monoidstruktur von M . Zu einer Darstellung pi von L kann man die symmetrische Algebra von pi betrachten (als unendlich dimensionale Darstellung, welche die symmetrischen Potenzen von pi als endlich dimensionale direkte Summanden enthält.) Ein höchstes Gewicht von L , das als höchstes Gewicht einer irreduziblen Komponente in einer n-ten symmetrischen Potenz von pi auftritt, sei gutes dominantes Gewicht genannt. Die Menge aller guten dominanten Gewichte bildet ein Untermonoid M(pi) des Monoids M . Solch ein M(pi) besitzt einen natürlich definierten Rang r(pi) , der größer-gleich 1 und kleiner-gleich r ist. (S. Seite 8 der Arbeit in der Einleitung.) Hier ist r der Rang von L , d.h. die Dimension einer Cartanunteralgebra von L . Nun: Eine Darstellung pi von L sei gut genannt, wenn r(pi) kleiner als r ist, und schlecht, wenn r(pi) gleich r ist. In den Paragraphen 4 und 5 der Arbeit werden dann - explizit als L-Darstellungen - die n-ten symmetrischen Potenzen der guten Darstellungen pi beschrieben. Im ersten Paragraphen der Arbeit wird nachgewiesen, dass Darstellungen bis auf wenige Ausnahmen schlecht sind, und es werden Listen von schlechten Darstellungen verifiziert. Letztlich werden die Typen der einfachen Liealgebren - die vier klassischen Reihen und die fünf Ausnahmealgebren - einzeln und individuell abgehandelt. In diesem ersten Paragraphen der Arbeit werden, wie auch später, entscheidend explizite Ausreduzierungen von symmetrischen Potenzen von Darstellungen benutzt, die in ausführlichen Listen zusammengestellt sind, s. Liste 1 und Liste 2 am Ende der Arbeit. (Die Berechnungen wurden mit dem Lie-Berechnungspaket aus [van Leeuwen] gemacht. In Einzelfällen werden auch explizite Ausreduzierungssätze benutzt, weil versucht wird, bei den Beweisen Argumente aus der Darstellungstheorie zu bevorzugen. Gemäß dem ersten Paragraphen sind für die einzelnen Typen einfacher Liealgebren fast alle irreduziblen Darstellungen schlecht. Bei jedem Typ bleibt nur eine kurze Liste von möglicherweise guten Darstellungen übrig. In Paragraph 2 werden nun die Darstellungen in diesen Restlisten als tatsächlich gut nachgewiesen. Paragraph 3 gibt eine Zusammenfassung der guten Darstellung unter einem anderen Gesichtspunkt: Die guten Darstellungen sind geordnet nach ihrem Rang (und nicht nach dem Isomorphietyp der Liealgebra ). In den Paragraphen 4 und 5 wird - für alle guten irreduziblen Darstellungen pi - die genaue Struktur (als vollständig reduzible Darstellung) der symmetrischen Potenzen von pi bestimmt. Benutzt wird dabei auch detailliertere Invariantentheorie und die Kenntnis von Hauptisotropiegruppen bei Darstellungsräumen.
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Computergestützte Suche nach optimalen linearen Codes über endlichen Kettenringen unter Verwendung heuristischer Methoden
(2011)
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Johannes Zwanzger
- In den Jahren 1968 und 1972 entdeckten Preparata bzw. Kerdock zwei unendliche Serien sehr guter nichtlinearer binärer Codes. Beide umfassen den Nordstrom-Robinson-Code, einen (16, 2^8, 6)-Code, dessen Minimaldistanz die obere Schranke von 5 für lineare binäre Codes gleicher Länge und Kardinalität übertrifft. Lange Zeit war unklar, warum die Codes beider Serien formal dual zueinander sind, d. h. warum ihre Gewichtszähler die MacWilliams-Identität erfüllen. Erst in den neunziger Jahren fand man heraus, dass sie als Bilder linearer Codes über dem Ring Z4 unter der sogenannten Grayabbildung dargestellt werden konnten. Diese Entdeckung löste einerseits das Rätsel und rückte gleichzeitig die Untersuchung linearer Codes über Z4 in den Fokus der Forschung. In den Folgejahren wurden Codes über endlichen Kettenringen als natürliche Verallgemeinerung der klassischen Codes über endlichen Körpern erkannt. Für jeden endlichen Kettenring R ist der Faktorring R/Rad(R) isomorph zu einem endlichen Körper GF(q), und mit Hilfe einer verallgemeinerten Version der Grayabbildung kann jeder R-lineare Code in einen - für gewöhnlich nichtlinearen - Code über GF(q) überführt werden. R-lineare Codes, deren Graybild eine bessere Minimaldistanz aufweist als optimale lineare Codes über GF(q) mit denselben Parametern, nennen wir BTL-Codes (better-than-linear). Ist noch unklar, ob lineare Codes derselben Minimaldistanz über GF(q) existieren, sprechen wir von BTKL-Codes (better-than-known-linear). Im Unterschied zu den umfassenden Tabellen für lineare Codes über Körpern gab es - abgesehen von Z4 - bisher nur wenig vergleichbares Datenmaterial zu linearen Codes über endlichen Kettenringen. Diese Lücke zu schließen und gleichzeitig nach weiteren Beispielen für BTL- und BTKL-Codes zu suchen, waren die Hauptziele der vorliegenden Arbeit. Um dies zu erreichen, wurde ein heuristischer Algorithmus aus meiner Diplomarbeit für die Suche nach guten linearen Codes über endlichen Körpern auf die Situation über endlichen Kettenringen verallgemeinert. Es handelt sich hierbei um einen Greedy-Algorithmus, der versucht, die gewünschten Codes durch schrittweises Erweitern von Generatormatrizen zu konstruieren. Die Entscheidungen in jedem Schritt basieren dabei auf einer von probabilistischen Überlegungen geleiteten Bewertungsfunktion. Eine weitere Verallgemeinerung ermöglichte es außerdem, die Methode auf eine größere Klasse von Problemen anzuwenden. In dieser Arbeit betraf dies im Speziellen die Konstruktion linearer Codes nach der Kramer-Mesner-Methode, also solchen, deren Automorphismengruppe eine bestimmte, vorgeschriebene Untergruppe enthält. Mit Hilfe dieser Verfahren wurde eine Datenbank von mehr als 93.000 linearen Codes mit hoher Minimaldistanz über 24 verschiedenen endlichen Kettenringen aufgebaut. Mehr als 1.200 dieser Codes sind als optimal nachgewiesen. Außerdem wurden mehrere neue BTL- und BTKL-Codes gefunden. Einer von ihnen entpuppte sich als der erste Vertreter einer unendlichen Serie über Z4, für deren beiden Anfangsglieder die BTL-Eigenschaft gezeigt werden konnte. Für einen anderen Code fand sich eine interessante geometrische Interpretation. Die Methoden wurden auch zur Konstruktion klassischer Codes über endlichen Körpern mit vorgeschriebener Automorphismengruppe eingesetzt. Dies führte zur Verbesserung der internationalen Tabellen für die beste bekannte Minimaldistanz an insgesamt 497 Stellen, wobei mindestens 38 der gefundenen Codes optimal sind. Auf Grundlage dieser Ergebnisse ist festzustellen, dass die verallgemeinerte Version des Algorithmus sich als mächtiges Werkzeug für Konstruktionsprobleme der hier vorliegenden Art erwiesen hat. Die erzeugten Tabellen legen außerdem die Vermutung nahe, dass BTL- und BTKL-Codes eher seltene Objekte sind, insbesondere für andere Kettenringe als Z4.
