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Keywords
- Außengebiet (1)
- Elastizitätstheorie (1)
- Exterior domains (1)
- Lamé equation (1)
- Lamé-Gleichung (1)
- Randwertproblem (1)
- Schwache Lösung (1)
- boundary value problem (1)
- static elasticity theory (1)
- weak solution (1)
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Die schwache Lösung des dritten Randwertproblems der statischen Elastizitätstheorie in $L^q$ für das Differentialgleichungssystem $\Delta\underline{u}+\lambda\nabla div\underline{u}=div\underline{\underline{f}}$ im beschränkten Gebiet und Außengebiet
(2006)
- In dieser Arbeit wird die Lamégleichung $$\Delta\underline{u}+\lambda \nabla div\underline{u}=div \underline{\underline{f}}$$ mit den Randbedingungen (Wobei $T^{(j)}(x)=(T^{(j)}_1(x),...,T^{(j)}_n(x)),\;j=1,...,n-1$ die Basis des Tangentialraumes von $\partial\Omega$ in $x$ und $\underline{N}$ die äußere Normale ist.) I) $$\left.\sum_{i,k=1}^n \partial_i u_k T_k^{(j)} N_i\right|_{\partial\Omega}= \left.\sum_{i,k=1}^n f_{ik}T_k^{(j)} N_i\right|_{\partial\Omega}$$ und $$\left.<\underline{u},\underline{N}>\right|_{\partial\Omega}=0,$$ II) $$\left.\sum_{i,k=1}^n\left[ \partial_i u_k T_k^{(j)} N_i+ \partial_k u_i T_k^{(j)} N_i\right]\right|_{\partial\Omega}=\left.\sum_{i,k=1}^n f_{ik}T_k^{(j)} N_i\right|_{\partial\Omega}$$ und $$\left.<\underline{u},\underline{N}>\right|_{\partial\Omega}=0$$ im Rahmen der schwachen $L^q$-Theorie für beschränkte Gebiete und Außengebiete untersucht. Weiter wird die Existenz eines $\underline{u}\in \underline{Y}^{1,q}(\Omega)$ mit (Randbedingung I) $$<\nabla\underline{u},\nabla\underline{\Phi}>_\Omega+\lambda_1<div\underline{u},div\underline{\Phi}>_\Omega=\sum_{i,k=1}^n\underset{\Omega}{\int}f_{ik}\partial_i \Phi_k dx\text{ für alle }\underline{\Phi}\in\underline{Y}^{1,q'}(\Omega)$$ beziehungsweise ein $\underline{u}$ in einem passend gewähltem Teilraum $\underline{Z}^q(\Omega)\subset \underline{Y}^{1,q}(\Omega)$ mit (Randbedingung II) $$\frac{1}{2}<\epsilon(\underline{u}),\epsilon(\underline{\Phi})>_\Omega+\left(\lambda_2-1\right)<div\underline{u},div\underline{\Phi}>_\Omega=\sum_{i,k=1}^n\underset{\Omega}{\int}f_{ik}\partial_i \Phi_k dx\text{ für alle }\underline{\Phi}\in\underline{Z}^{q'}(\Omega).$$ gezeigt. Eine schwache Lösung, die regulär bis zum Rande angenommen wird, erfüllt dann die Randbedingungen I beziehungsweise II.
