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Eine $L^q$-Theorie des Cosseratspektrums in beschränkten Gebieten und Außengebieten
(2005)
- In der vorliegenden Arbeit wird die Frage untersucht, für welche (Eigenwerte) a in R nichttriviale klassische oder schwache $L^q$-Lösungen (Eigenfunktionen) des Cosseratspektrums existieren $$ \Delta \U u = a \nabla \Div \U u, \qquad \U u \Big|_{\partial G}=0 $$ wobei G ein beschränktes Gebiet oder ein Außengebiet ist. Dieses Problem wurde erstmals von den Brüdern Eugène und Francois Cosserat untersucht. Es ist ein Spezialfall der Lamé-Gleichung und beschreibt die Auslenkung eines linearen, isotropen, homogenen elastischen Mediums ohne Einwirkung einer äußeren Kraft im statischen Fall. In dieser Arbeit wird das schwache Cosseratspektrum für beschränkte Gebiete und Außengebiete und 1<q bestimmt. Es ist a = 1 Eigenwert unendlicher Vielfachheit und a = 2 Häufungspunkt von Eigenwerten endlicher Vielfachheit. Die Gebrüder Cosserat (1900) bestimmten das klassische Cosseratspektrum für spezielle Gebiete wie Kugel, Annulus und Ellipsoid. Allgemeine Resultate stammen von Mikhlin (1973), der das Cosseratspektrum im Fall n=3 und q=2 bestimmte, und Kozhevnikov (1993), der beschränkte Gebiete im Fall n=3 und q=2 behandelte. Kozhevnikovs Beweis beruht auf der Theorie der Pseudodifferentialoperatoren. Faierman, Fries, Mennicken und Möller (2000) führten einen direkten Beweis für beschränkte Gebiete, n>=2 und q=2. Michel Crouzeix gelang 1997 ein sehr einfacher Beweis für beschränkte Gebiete, n=2,3 und q=2. In dieser Arbeit wird die Beweisidee von Crouzeix aufgegriffen, und die obigen Resultate werden für beschränkte Gebiete und Außengebiete, n>=2 und 1<q gezeigt. Ein weiteres Resultat ist, dass die Eigenräume zu Eigenwerten a in R\{1,2} nicht von q abhängen. Für diese Eigenfunktionen existieren höhere (klassische) Ableitungen. Deshalb ist auch für das klassische Cosseratspektrum a =2 Häufungspunkt von Eigenwerten. a =1 ist auch klassisch immer ein Eigenwert. Aus der Lösung des Cosseratspektrums folgt als Anwendung ein Zusammenhang zwischen der Greenschen Funktion zum Laplace-Operator und dem reproduzierenden Kern in Bergman-Räumen.
