70 search hits
-
Stability Analysis of Unconstrained Receding Horizon Control Schemes
(2011)
-
Karl Worthmann
- In this thesis we are concerned with receding horizon control (RHC), also known as model predictive control. In particular, schemes which neither incorporate terminal constraints nor costs are considered. Our goal is to ensure a relaxed Lyapunov inequality which allows to conclude asymptotic stability of the RHC closed loop and, in addition, to quantify the loss of performance in comparison to infinite horizon optimal control. To this end, a (stability) condition is derived based on a controllability assumption. Then, a sensitivity analysis is carried out with respect to the most important parameters in our RHC strategy: the prediction and the control horizon. Here, the proposed stability condition is exploited in order to deduce guidelines to suitably design receding horizon stage costs. Furthermore, symmetry and monotonicity properties are rigorously shown which pave the way in order to develop algorithms such that the prediction horizon and, thus, the computational costs can be reduced while maintaining a desired performance guarantee.
Since many practically relevant discrete time systems are induced by sampled differential equations, effects linked to employing faster sampling and, thus, more accurate discretizations are analyzed. In this context a growth condition which may, e.g., reflect continuity properties, is introduced and the proposed methodology is generalized to this setting - a decisive step towards so called accumulated bounds which further improve our stability estimates and, thus, allow to derive tighter performance bounds. Moreover, the applicability and effectiveness of the presented results are demonstrated by several examples including a class of reaction diffusion equations.
-
A survey of the higher Stasheff-Tamari orders
(2012)
-
Jörg Rambau
Victor Reiner
- The Tamari lattice, thought as a poset on the set of triangulations of a convex polygon with n vertices, generalizes to the higher Stasheff-Tamari orders on the set of triangulations of a cyclic d-dimensional polytope having n vertices. This survey discusses what is known about these orders, and what one would like to know about them.
-
The Stochastic Guaranteed Service Model with Recourse for Multi-Echelon Warehouse Management
(2012)
-
Jörg Rambau
Konrad Schade
- The Guaranteed Service Model (GSM) computes optimal order-points in multi-echelon inventory control under the assumptions that delivery times can be guaranteed and the demand is bounded. Our new Stochastic Guaranteed Service Model (SGSM) with Recourse covers also scenarios that violate these assumptions. Simulation experiments on real-world data of a large German car manufacturer show that policies based on the SGSM dominate GSM-policies.
-
Beiträge zur Optimalen Steuerung partiell-differential algebraischer Gleichungen
(2012)
-
Armin Rund
- Diese Arbeit liefert Beiträge zur Optimalen Steuerung partiell-differential algebraischer Gleichungen. Insbesondere werden Zustandsbeschränkungen bei der Optimalen Steuerung gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen sowie gekoppelter Systeme untersucht. Die verschiedenen Konzepte dieser Gebiete werden verglichen, übertragen und eingeordnet. Zentrale Ergebnisse sind die Übertragung der notwendigen Bedingungen nach Bryson, Denham und Dreyfus auf elliptische Optimalsteuerungsprobleme mit punktweisen Zustandsbeschränkungen, die Übertragung von Sprungbedingungen und Maßdarstellungen auf ein ODE-PDE beschränktes Optimalsteuerungsproblem mit Zustandsbeschränkungen bei niederdimensionalen aktiven Mengen, sowie die Entwicklung effizienter numerischer Methoden für komplexe Anwendungsprobleme. Die Beiträge dieser Arbeit gliedern sich in vier Kapitel, deren Aspekte jeweils zusammengefasst werden: Zunächst werden die Grundlagen aus der Optimalen Steuerung gewöhnlicher Differentialgleichungen mit Zustandsbeschränkungen wiederholt. Die beiden geläufigen notwendigen Bedingungen nach Jacobson, Lele und Speyer, sowie nach Bryson, Denham und Dreyfus (BDD-Ansatz) werden erläutert und in den Zusammenhang der Optimalen Steuerung partieller Differentialgleichungen gestellt. Dabei wird der Zusammenhang zwischen den Sprungbedingungen und dem Borel-Maß hergestellt. In Kapitel 2 wird der BDD-Ansatz auf ein Optimalsteuerungsproblem einer elliptischen partiellen Differentialgleichung mit punktweisen Zustandsbeschränkungen und verteilten aktiven Mengen übertragen. Die Idee dieses BDD-Ansatzes ist es, die Zustandsbeschränkung auf der aktiven Menge äquivalent in eine Steuerungs-Zustandsbeschränkung oder ggf. eine reine Steuerungsbeschränkung zu transformieren. Dies erlaubt die Herleitung neuer notwendiger Bedingungen. Durch die Transformation der Zustandsbeschränkungen gewinnen die zugehörigen Lagrange-Multiplikatoren an Regularität. Man erhält aus den neuen notwendigen Bedingungen ein Randwertproblem auf verschiedenen Gebieten mit Übergangsbedingungen. Das Interface zwischen den verschiedenen Gebieten stellt eine Optimierungsvariable dar. Eine notwendige Bedingung am Interface wird mit Techniken der Shapeoptimierung hergeleitet. Das Kapitel 3 behandelt Zustandsbeschränkungen bei gemischten ODE-PDE Problemen: Anhand eines zeitabhängigen Anwendungsproblems - des sogenannten Rocketcars - lässt sich eine vollständige Darstellung des Borel-Maßes auf niederdimensionalen aktiven Mengen angeben. In der Folge lassen sich Sprungbedingungen und weitgehende Regularitätsaussagen herleiten. Die explizite Massdarstellung ermöglicht weiterhin die Formulierung als Mehrpunkt-Anfangsrandwertproblem und den Einsatz angepasster Lösungsmethoden. Kapitel 4 widmet sich schließlich einem komplexen Anwendungsproblem eines OC-PDAE: Ein Brennstoffzellenmodell stellt uns vor ein Optimalsteuerungsproblem eines Systems von partiell-differentiell algebraischen Gleichungen. Es werden notwendige Bedingungen hergeleitet und direkte sowie indirekte (adjungierten-basierte) Methoden der Optimalen Steuerung entwickelt und verglichen. Numerische Experimente bestätigen die Effizienz der vorgestellten Methoden. Insbesondere das indirekte Quasi-Newton-Verfahren erlaubt eine zeitadaptive optimale Steuerung der Brennstoffzellenanlage mit hoher Genauigkeit und unter geringer Rechenzeit.
-
Two Irreducible Components of the Moduli Space M can 1,3
(2012)
-
Yifan Chen
- This thesis is devoted to study two families of surfaces of general type: extended Burniat surfaces with K^2=3 and Keum-Naie-Mendes Lopes-Pardini surfaces. We focus on the corresponding subsets in the Gieseker moduli space. Extended Burniat surfaces with K^2=3 were constructed by Bauer and Catanese in the course of studying the tertiary Burniat surfaces and they showed that their closure is an irreducible component of the moduli space. We prove here the union of the loci described by them is indeed a full irreducible component. We also study the local deformations of two families of degenerations of the extended Burniat surfaces. Keum-Naie-Mendes Lopes-Pardini surfaces are the surfaces constructed by Mendes Lopes and Paridini, which realize the Keum-Naie surfaces with K^2=3 as degenerations. We reconstruct a subfamily of such surfaces and investigate their deformations. We show that the closure of the corresponding subset of the Keum-Naie-Mendes Lopes-Pardini surfaces is an irreducible component of the moduli space.
-
A strictly feasible sequential convex programming method
(2011)
-
Sonja Lehmann
- In free material optimization (FMO), one tries to find the best mechanical structure by minimizing the weight or by maximizing the stiffness with respect to given load cases. Design variables are the material properties represented by elasticity tensors or elementary material matrices, respectively, based on a given finite element discretization. Material properties are as general as possible, i.e., anisotropic, leading to positive definite elasticity tensors, which may be arbitrarily small in case of vanishing material. To guarantee a positive definite global stiffness matrix for computing design constraints, it is required that all iterates of an optimization algorithm retain positive definite tensors. Otherwise, some constraints, e.g., the compliance, cannot be evaluated and the algorithm fails. FMO problems are generalizations of topology optimization problems. The goal of topology optimization is to find the stiffest structure subject to given loads and a limited amount of material. In contrast to FMO the material is explicitly given and cannot vary. Based on a finite element discretization, in each element it is decided whether to use material or not. The regions with vanishing material are interpreted as void. The resulting optimization problem can be solved by numerous efficient nonlinear optimization methods, for example sequential convex programming methods. Sequential convex programming (SCP) formulates separable and strictly convex nonlinear subproblems iteratively by approximating the objective and the constraints. Lower and upper asymptotes are introduced to truncate the feasible region. Due to the special structure, the resulting subproblems can be solved efficiently by appropriate methods, e.g., interior point methods. To ensure global convergence, a line search procedure is introduced. Moreover, an active set strategy is applied to reduce computation time. The iterates of SCP are not guaranteed to be inside the corresponding feasible region described by the constraints. As a consequence it is not able to solve free material optimization problems as the compliance function is only well-defined on the feasible region of some of the constraints. We propose a modification of a SCP method that ensures feasibility with respect to a given set of inequality constraints. The resulting procedure is called feasible sequential convex programming method (SCPF). SCPF expands the resulting subproblems by additional nonlinear constraints, that are passed to the subproblem directly to ensure their feasibility in each iteration step. They are referred as feasibility constraints. In addition, other constraints may be violated within the optimization process. As globalization technique a line search procedure is used to ensure convergence. The resulting subproblems can be solved efficiently taking the sparse structure into account. Moreover, semidefinite constraints have to be replaced by nonlinear ones, such that SCPF is applicable. SCPF successfully solved FMO problems with up to 120.000 variables and 60.000 constraints. Within a theoretical analysis global convergence of SCPF is shown for convex feasibility constraints.
-
Gitterbasenreduktion mit Random Sampling und heuristischen Erweiterungen
(2011)
-
Heiko Vogel
- Diese Dissertation beschäftigt sich mit dem mathematischen Teilgebiet der Gitterbasenreduktion. Aufbauend aus den Erkenntnissen der Diplomarbeit "Gitterbasenreduktion mit Random Sampling" werden verschiedene Modifikationen am ursprünglichen LLL- bzw. BKZ-Verfahren vorgenommen: Es wird der von C. Schnorr entwickelte Ansatz, den LLL-Austauschschritt um Tiefeneinfügungen zu erweitern, aufgegriffen und eine alternative Methode zum Basisaustausch für das BKZ-Verfahren vorgestellt. Ferner werden zwei unterschiedliche Verfahren von A. Wassermann und P. Nguyen zum Abschneiden von Enumerationsbäumen beschrieben. Die Random Sampling Strategie von Schnorr wurde überarbeitet, um ein schlechtes GSA-Verhalten des Gitters zu berücksichtigen und eine neuartige Strategie von Buchmann und Ludwig wurde implementiert, bei der das GSA-Verhalten vollkommen irrelevant ist. Schließlich wird ein grundlegendes, heuristisches Bewertungskonzept für Gittervektoren entwickelt, das im Rahmen eines von T. Vidick und P. Nguyen beschriebenen Siebverfahrens, Anwendung findet. Mit Hinblick auf die Qualität der erreichten Gitter-Reduktion für schwierige Market-Split-Probleme in Dimensionen ≈ 120, liefern diese neuen Methoden hervorragende Ergebnisse in äußerst kurzer Zeit (ca. 5 Stunden auf einem 3 GHz Rechner). Auch für Problemdimensionen > 500 sind die Resultate durchaus noch zufriedenstellend - allerdings ist hierbei der Rechenaufwand (> 7 Tage) nicht mehr zu vernachlässigen. Im Vergleich mit dem kommerziellen Programm CPLEX, das einen völlig anderen Ansatz zur Lösung von ganzzahlig-linearen Gleichungssystemen verfolgt, konnten sogar sehr gute Ergebnisse erzielt werden.
-
Computergestützte Suche nach optimalen linearen Codes über endlichen Kettenringen unter Verwendung heuristischer Methoden
(2011)
-
Johannes Zwanzger
- In den Jahren 1968 und 1972 entdeckten Preparata bzw. Kerdock zwei unendliche Serien sehr guter nichtlinearer binärer Codes. Beide umfassen den Nordstrom-Robinson-Code, einen (16, 2^8, 6)-Code, dessen Minimaldistanz die obere Schranke von 5 für lineare binäre Codes gleicher Länge und Kardinalität übertrifft. Lange Zeit war unklar, warum die Codes beider Serien formal dual zueinander sind, d. h. warum ihre Gewichtszähler die MacWilliams-Identität erfüllen. Erst in den neunziger Jahren fand man heraus, dass sie als Bilder linearer Codes über dem Ring Z4 unter der sogenannten Grayabbildung dargestellt werden konnten. Diese Entdeckung löste einerseits das Rätsel und rückte gleichzeitig die Untersuchung linearer Codes über Z4 in den Fokus der Forschung. In den Folgejahren wurden Codes über endlichen Kettenringen als natürliche Verallgemeinerung der klassischen Codes über endlichen Körpern erkannt. Für jeden endlichen Kettenring R ist der Faktorring R/Rad(R) isomorph zu einem endlichen Körper GF(q), und mit Hilfe einer verallgemeinerten Version der Grayabbildung kann jeder R-lineare Code in einen - für gewöhnlich nichtlinearen - Code über GF(q) überführt werden. R-lineare Codes, deren Graybild eine bessere Minimaldistanz aufweist als optimale lineare Codes über GF(q) mit denselben Parametern, nennen wir BTL-Codes (better-than-linear). Ist noch unklar, ob lineare Codes derselben Minimaldistanz über GF(q) existieren, sprechen wir von BTKL-Codes (better-than-known-linear). Im Unterschied zu den umfassenden Tabellen für lineare Codes über Körpern gab es - abgesehen von Z4 - bisher nur wenig vergleichbares Datenmaterial zu linearen Codes über endlichen Kettenringen. Diese Lücke zu schließen und gleichzeitig nach weiteren Beispielen für BTL- und BTKL-Codes zu suchen, waren die Hauptziele der vorliegenden Arbeit. Um dies zu erreichen, wurde ein heuristischer Algorithmus aus meiner Diplomarbeit für die Suche nach guten linearen Codes über endlichen Körpern auf die Situation über endlichen Kettenringen verallgemeinert. Es handelt sich hierbei um einen Greedy-Algorithmus, der versucht, die gewünschten Codes durch schrittweises Erweitern von Generatormatrizen zu konstruieren. Die Entscheidungen in jedem Schritt basieren dabei auf einer von probabilistischen Überlegungen geleiteten Bewertungsfunktion. Eine weitere Verallgemeinerung ermöglichte es außerdem, die Methode auf eine größere Klasse von Problemen anzuwenden. In dieser Arbeit betraf dies im Speziellen die Konstruktion linearer Codes nach der Kramer-Mesner-Methode, also solchen, deren Automorphismengruppe eine bestimmte, vorgeschriebene Untergruppe enthält. Mit Hilfe dieser Verfahren wurde eine Datenbank von mehr als 93.000 linearen Codes mit hoher Minimaldistanz über 24 verschiedenen endlichen Kettenringen aufgebaut. Mehr als 1.200 dieser Codes sind als optimal nachgewiesen. Außerdem wurden mehrere neue BTL- und BTKL-Codes gefunden. Einer von ihnen entpuppte sich als der erste Vertreter einer unendlichen Serie über Z4, für deren beiden Anfangsglieder die BTL-Eigenschaft gezeigt werden konnte. Für einen anderen Code fand sich eine interessante geometrische Interpretation. Die Methoden wurden auch zur Konstruktion klassischer Codes über endlichen Körpern mit vorgeschriebener Automorphismengruppe eingesetzt. Dies führte zur Verbesserung der internationalen Tabellen für die beste bekannte Minimaldistanz an insgesamt 497 Stellen, wobei mindestens 38 der gefundenen Codes optimal sind. Auf Grundlage dieser Ergebnisse ist festzustellen, dass die verallgemeinerte Version des Algorithmus sich als mächtiges Werkzeug für Konstruktionsprobleme der hier vorliegenden Art erwiesen hat. Die erzeugten Tabellen legen außerdem die Vermutung nahe, dass BTL- und BTKL-Codes eher seltene Objekte sind, insbesondere für andere Kettenringe als Z4.
-
Stability with uniform bounds for online dial-a-ride problems under reasonable load
(2011)
-
Sven O. Krumke
Jörg Rambau
- In continuously running logistic systems (like in-house pallet transportation systems), finite buffer capacities usually require controls achieving uniformly bounded waiting queues (strong stability). Standard stochastic traffic assumptions (arrival rates below service rates) can, in general, not guarantee these strong stability requirements, no matter which control. Therefore, the worst-case traffic notion of reasonable load was introduced, originally for the analysis of the Online-Dial-a-Ride Problem. A set of requests is reasonable if the requests that are presented in a sufficiently large time period can be served in a time period of at most the same length. The rationale behind this concept is that the occurrence of non-reasonable request sets renders the system overloaded, and capacity should be extended. For reasonable load, there are control policies that can guarantee uniformly bounded flow times, leading to strong stability in many cases. Control policies based on naive eoptimization, however, can in general achieve neither bounded flow times nor strong ability. In this chapter, we review the concept and examples for reasonable load. Moreover, we present new control policies achieving strong stability as well as new elementary examples of request sets where naive reoptimization fails.
-
Local Approximation of Discounted Markov Decision Problems by Mathematical Programming Methods
(2011)
-
Stefan Heinz
Jörg Rambau
Andreas Tuchscherer
- We develop a method to approximate the value vector of discounted Markov decision problems (MDP) with guaranteed error bounds. It is based on the linear programming characterization of the optimal expected cost. The new idea is to use column generation to dynamically generate only such states that are most relevant for the bounds by incorporating the reduced cost information. The number of states that is sufficient in general and necessary in the worst case to prove such bounds is independent of the cardinality of the state space. Still, in many instances, the column generation algorithm can prove bounds using much fewer states. In this paper, we explain the foundations of the method. Moreover, the method is used to improve the well-known nearest-neighbor policy for the elevator control problem.
