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A note on Erdös-Diophantine graphs and Diophantine carpets
(2005)
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Axel Kohnert
Sascha Kurz
- A Diophantine figure is a set of points on the integer grid $\mathbb{Z}^{2}$ where all mutual Euclidean distances are integers. We also speak of Diophantine graphs. The vertices are points in $\mathbb{Z}^{2}$ (the coordinates)and the edges are labeled with the distance between the two adjacent vertices, which is integral. In this language a Diophantine figure is a complete Diophantine graph. Two Diophantine graphs are equivalent if they only differ by translation or rotation of vertices. Due to a famous theorem of Erdös and Anning there are complete Diophantine graphs which are not contained in larger ones. We call them Erdös-Diophantine graphs. A special class of Diophantine graphs are Diophantine carpets. These are planar triangulations of a subset of the integer grid. We give an effective construction for Erdös-Diophantine graphs and characterize the chromatic number of Diophantine carpets.
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Complex nanostructures in triblock terpolymer thin films
(2004)
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Sabine Ludwigs
- The thin film phase behavior of poly(styrene)-block-poly(2-vinylpyridine)-block-poly(tert-butyl methacrylate) (PS-b-P2VP-b-PtBMA) triblock terpolymers with volume fractions f(PS) : f(P2VP) : f(PtBMA) = 1 : 1.2 : x, with x ranging from 3.05 to 4, is studied with a combinatorial gradient approach. Gradients in film thickness are prepared via thin film flow coating of dilute solutions in chloroform. Upon controlled annealing in nearly saturated solvent vapor the films form terraces of well-defined step height. The dependence between morphology and film thickness is studied with optical microscopy, tapping mode SFM, and SEM. Though showing different morphologies in the bulk, the same sequence of surface structures is found with increasing film thickness for the whole range of compositions: a disordered phase in the thinnest regions, a liquid-like distribution of upright standing cylinders, cylinders oriented parallel to the film, and finally a hexagonally ordered perforated lamella structure (PL) on the first terrace with a thickness of d = (37+3) nm. Higher terraces also exhibit PL as surface structures. Due to the chemical nature of the block components and the particular stoichiometry of the polymer a wetting layer with a PtBMA-rich top layer is formed next to the substrate. By imposing an additional gradient in substrate surface energy, orthogonal to the gradually increasing film thickness, the perforated lamella is shown to be a stable phase, regardless of the chemical nature of the substrate, which makes this structure and methodology robust for application in nanotechnology. The complex phase behavior observed in thin films is supported by mesoscale computer simulations based on dynamic density functional theory. Thin films of the above mentioned triblock terpolymers are modeled as a melt of A3B4C12 Gaussian chains which is confined in a slit with film thickness H. By adjusting the interaction parameters between the polymer components and the surfaces, the experimentally observed sequence of surface structures as function of the film thickness can be successfully modeled. At well-defined film thickness the perforated lamella structure is formed. In analogy with earlier work on a two-component system these structures are identified as surface reconstructions of the bulk structure. In particular, the core-shell PL can be seen as analogue to the PL surface reconstruction of cylinder-forming AB and ABA systems. The influence of film thickness, surface field, and the interaction parameters between the different polymer components on the phase behavior is also explored. A large spectrum of surface structures is observed in analogy to the experiments. Further attention has been given to the perforated lamella structure. This structure can be visualized as P2VP/PS/P2VP lamellae which are perforated by channels of PtBMA interconnecting between two outer layers of PtBMA. A highly ordered PL structure could be prepared with a very small number of defects over an area of about 12 x 4 µm2. Because of the special functionalities of the triblock terpolymer a rather versatile nanostructure was produced. By selective UV-depolymerization of the PtBMA matrix phase, the PL phase might potentially be used for lithographic applications similar to the case of perpendicularly oriented poly(methyl methacrylate) (PMMA) cylinders in PS-b-PMMA block copolymer thin films. Furthermore, a responsive membrane can be created by selective removal of the matrix phase. The remaining PL has a P2VP shell which might be either switched via the pH-value or loaded with metal components. A polymer-analogous reaction of the matrix phase of the PL to poly(methacrylic acid) via acid-catalyzed hydrolysis leads to a pH-responsive nanostructure without altering the overall structure. With SFM in aqueous environment structural changes of the PL phase are studied as function of the pH-value. Upon changing the pH of the surrounding medium a strong swelling of the original film thickness is observed at pH-values > 6 to a maximum degree of 7.5-fold swelling. This swelling is explained with a conformational change of the matrix phase poly(methacrylic acid). The hexagonal arrangement of the pattern is not affected. The first two blocks PS and P2VP act as skeleton of the PL phase which withstands the mechanical forces exerted on the strongly swollen PMAA. In contrast to the PL phase core-shell cylinders oriented parallel to the interfaces cannot withstand these forces and are solubilised at high pH-values.
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Counting polyominoes with minimum perimeter
(2005)
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Sascha Kurz
- Es wird die Anzahl der wesentlich verschiedenen Polyominoes der Ordnung n mit minimalem Umfang p(n) bestimmt.
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Enumeration of generalized polyominoes
(2006)
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Matthias Koch
Sascha Kurz
- Wir verallgemeinern den Begriff von Polyominoes (Tetrisbausteine) und betrachten Seite-an-Seite benachbarte überschneidungsfreie Vereinigungen von regelmäßigen k-Ecken. Für n<=4 geben wir Formeln für die Anzahl a_k(n) von verallgemeinerten Polyominoes, bestehend aus n regelmäßigen k-Ecken, an. Für weitere kleine Werte von k und n tabellieren wir durch computerunterstützte Enumeration gewonnene Anzahlen. Zum Abschluss erwähnen wir ein paar ungelöste Probleme für verallgemeinerte Polyominoes.
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Inclusion-maximal integral point sets over finite fields
(2007)
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Michael Kiermaier
Sascha Kurz
- We consider integral point sets in affine planes over finite fields. Here an integral point set is a set of points in $GF(q)^2$ where the formally defined Euclidean distance of every pair of points is an element of $GF(q)$. From another point of view we consider point sets over $GF(q)^2$ with few and prescribed directions. So this is related to Redeis work. Another motivation comes from the field of ordinary integral point sets in Euclidean spaces. In this article we study the spectrum of integral point sets over $GF(q)^2$ which are maximal with respect to inclusion. We give some theoretical results, constructions, conjectures, and some numerical data.
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Integral point sets over Z_n^m
(2007)
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Axel Kohnert
Sascha Kurz
- There are many papers studying properties of point sets in the Euclidean space or on integer grids, with pairwise integral or rational distances. In this article we consider the distances or coordinates of the point sets which instead of being integers are elements of Z_n, and study the properties of the resulting combinatorial structures.
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Kombinatorische Untersuchung und Optimierung von organischen Multischichtleuchtdioden
(2006)
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Markus Bäte
- Ein Schwerpunkt dieser Arbeit lag auf der Weiterentwicklung und Verbesserung der an diesem Lehrstuhl vorhandenen Aufdampfanlage zur Herstellung von komplex aufgebauten Multischichtleuchtdioden. Um eine verbesserte Kontrolle der Schichtdicken und der Aufdampfrate zu ermöglichen wurden im Rahmen der Doktorarbeit in der Aufdampfkammer drei widerstandsgeheizte Quellen durch drei Effusionsquellen ersetzt. An diese drei Effusionsquellen wurden zusätzliche Sensoren, zur Bestimmung der Aufdampfrate und Schichtdicke, angebracht. Um den Gradienten in der Schichtdicke, der, abhängig von der Quellenposition, während des Aufdampfprozesses entsteht, zu reduzieren, wurde der vorhandene feststehende Maskenschlitten durch einen Drehteller mit Maskeneinheit ersetzt. Dieser Drehteller rotiert während des Aufdampfprozesses über den Quellen. Er bietet alle kombinatorischen Möglichkeiten des Maskenschlittens zur Sektoren- und Gradientenerzeugung. Mit dem Drehteller konnte der gerätebedingte Gradient der aufgedampften Schichten auf bis unter 7 % reduziert werden. Ein weiteres Ziel, die Leuchtdioden vor Luftsauerstoff und Feuchtigkeit zu schützen und damit die Lebensdauer zu erhöhen, wurde verwirklicht durch den Anbau einer Inertgaskammer an die Aufdampfanlage, in der fertig gestellte Leuchtdioden verkapselt werden können. Schließlich wurde, für eine schnelle Charakterisierung kombinatorischer Sektorenbibliotheken, eine neue Apparatur, der FLASHScan® 530, in Betrieb genommen. Mit diesem Gerät ist es möglich sowohl Absorptions- als auch Lumineszenzspektren von kombinatorischen Sektorenbibliotheken schnell und effizient durchzuführen. Im Rahmen dieser Arbeit konnte gezeigt werden, dass es mit der weiterentwickelten Aufdampfanlage möglich ist effektiv organische Leuchtdioden herzustellen und, insbesondere, dass mittels neu entwickelter kombinatorischer Sektorenbibliotheken in einem Versuch verschiedene Parameter, wie z.B. Schichtabfolge, variiert und die Sektoren miteinander verglichen werden können. Neben der Weiterentwicklung der Aufdampfanlage lagen weitere Schwerpunkte auf der Untersuchung und Optimierung von grün, rot und blau emittierenden Substanzen in organischen Leuchtdioden.
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Konstruktion und Eigenschaften ganzzahliger Punktmengen
(2005)
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Sascha Kurz
- In vielen Anwendungen in der Chemie, Physik, Biologie und in den Ingenieurswissenschaften treten diskrete Strukturen auf. Beispiele solcher diskreter Strukturen sind molekulare Graphen, fehler-korrigierende Codes, Designs, Matroide, Schaltfunktionen, Assoziationsschemata, endliche Geometrien oder Netzwerke. Die bloße theoretische Existenz einer solchen Struktur, auch mit den sich aus den Anwendungen ergebenen Nebenbedingungen, nutzt dem Anwender meist recht wenig. Die Herausforderung der sich die Mathematik in diesem Zusammenhang stellen muss, ist das schnelle redundanzfreie Erzeugen diskreter Strukturen unter Berücksichtigung von Nebenbedingungen. In dieser Dissertation sollen Punktmengen im Euklidischen Raum E^m mit paarweise ganzzahligen Abständen betrachtet werden. Für die Wahl dieses scheinbar recht speziellen Themas gibt es eine Reihe von Gründen. Zum einen gibt es interessante Anwendungen für dieses Problem, von denen wir ein paar im nächsten Kapitel vorstellen möchten. Die Fragestellung ist weiterhin mathematisch sehr interessant, da sie mehrere mathematische Teildisziplinen berührt. Zu nennen wären hier die Geometrie, Gruppentheorie, Zahlentheorie, Graphentheorie und Kombinatorik. Für die allgemeine Theorie der Konstruktion diskreter Strukturen sind die ganzzahligen Punktmengen von Interesse, da man hier nicht mit einem einzigen Konstruktionsalgorithmus zu befriedigenden Resultaten kommen kann, sondern fast die gesamte Bandbreite der bekannten allgemeinen Konstruktionsalgorithmen ausnutzen muss. Das Vorhandensein von stark einschränkenden Nebenbedingungen ist eine weitere sehr willkommene Eigenschaft. Ziel der Dissertation ist es, die Struktur und die Eigenschaften ganzzahliger Punktmengen genauer als bisher bekannt aufzuklären und Algorithmen zu entwickeln, mit denen man diese diskreten Strukturen effizient konstruieren kann. Trotz des speziellen Problems können Erkenntnisse auf das allgemeine Konstruktionsproblem diskreter Strukturen übertragen werden. Im Rahmen dieser Arbeit wurde eine Reihe neuer Resultate erzielt: - Nach Vorarbeiten in Abschnitt 2.3 können wir in Abschnitt 2.4 den Begriff der Charakteristik eines Dreiecks auf Simplizes beliebiger Dimension verallgemeinern. Den für die Konstruktion ganzzahliger planarer Punktmengen äußerst wichtigen Satz, dass je zwei Dreiecke aus 3 nicht kollinearen Punkten einer ganzzahligen planaren Punktmenge dieselbe Charakteristik besitzen, übertragen wir entsprechend auf beliebige Dimensionen. - In Kapitel 3 präsentieren wir eine Variante der ordnungstreuen Erzeugung, die für die Konstruktion ganzzahliger Punktmengen bzw. allgemeiner für die Konstruktion diskreter Strukturen mit strukturell ähnlichen, starken Nebenbedingungen besonders geeignet ist. - Den Eigenschaften und der Berechnung der Charakteristik von ganzzahligen Punktmengen haben wir uns in Kapitel 4 gewidmet. Die dortigen Betrachtungen führen unter anderem zu theoretischen Einsichten in die Struktur ganzzahliger planarer Punktmengen bzw. zu einer Laufzeitabschätzung für die von uns verwendete Konstruktionsmethode (in unserem Spezialfall). - In Kapitel 5 erweitern wir die Liste der bekannten minimalen Durchmesser ganzzahliger planarer Punktmengen. Bisher waren die minimalen Durchmesser ganzzahliger planarer Punktmengen aus n Punkten nur für n<=9 bekannt. In Abschnitt 5.4 bestimmen wir sie für n<=89. Für eine bestimmte Klasse ganzzahliger planarer Punktmengen haben wir in Abschnitt 5.2 die richtige Größenordnung des minimalen Durchmessers bestimmt. Für ganzzahlige planare Punktmengen ohne 3 kollineare Punkte waren die minimalen Durchmesser bisher ebenfalls nur für n<=9 bekannt. In Abschnitt 5.5 haben wir sie für n<=36 bestimmt. - Die Liste der bekannten minimalen Durchmesser von ganzzahligen räumlichen Punktmengen aus n Punkten konnten wir in Abschnitt 9.1 erweitern. Für n=9 mussten wir einen Wert aus der Literatur korrigieren und für 11<=n<=23 haben wir sie erstmals bestimmt. - In Kapitel 10 bestimmen wir die Anzahl ganzzahliger m-dimensionaler Simplizes mit Durchmesser d für einige Paare von Werten von m und d. - In Abschnitt 11.1 behandeln wir ganzzahlige m-dimensionale Punktmengen aus m+2 Punkten. Bisher waren nur Beispiele in den Dimensionen m=3,8 bekannt. Wir zeigen, dass es für ungerade Dimensionen m>=3 immer mindestens eine solche ganzzahlige Punktmenge gibt. Durch eine vollständige Suche zeigen wir, dass es in den Dimensionen m=2,4,6 und 10 keine derartigen Punktmengen gibt. - Für ganzzahlige m-dimensionale Punktmengen aus m+2 Punkten kann der minimale Durchmesser nur 3 oder 4 betragen. Bisher war nur bekannt, dass die untere Schranke 3 in den Dimensionen m=3,6,8 angenommen wird. In Abschnitt 11.2 zeigen wir, dass sie auch für 9<=m<=24 angenommen wird.
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Maximal integral point sets over Z^2
(2008)
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Sascha Kurz
Andrey Radoslavov Antonov
- Geometrical objects with integral side lengths have fascinated mathematicians through the ages. We call a set P={p(1),...,p(n)} in Z^2 a maximal integral point set over Z^2 if all pairwise distances are integral and every additional point p(n+1) destroys this property. Here we consider such sets for a given cardinality and with minimum possible diameter. We determine some exact values via exhaustive search and give several constructions for arbitrary cardinalities. Since we cannot guarantee the maximality in these cases we describe an algorithm to prove or disprove the maximality of a given integral point set. We additionally consider restrictions as no three points on a line and no four points on a circle.
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On the characteristic of integral point sets in $\mathbb{E}^m$
(2005)
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Sascha Kurz
- We generalise the definition of the characteristic of an integral triangle to integral simplices and prove that each simplex in an integral point set has the same characteristic. This theorem is used for an efficient construction algorithm for integral point sets. Using this algorithm we are able to provide new exact values for the minimum diameter of integral point sets.
