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Integral point sets over Z_n^m
(2007)
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Axel Kohnert
Sascha Kurz
- There are many papers studying properties of point sets in the Euclidean space or on integer grids, with pairwise integral or rational distances. In this article we consider the distances or coordinates of the point sets which instead of being integers are elements of Z_n, and study the properties of the resulting combinatorial structures.
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On the minimum diameter of plane integral point sets
(2007)
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Sascha Kurz
Alfred Wassermann
- Since ancient times mathematicians consider geometrical objects with integral side lengths. We consider plane integral point sets P, which are sets of n points in the plane with pairwise integral distances where not all the points are collinear. The largest occurring distance is called its diameter. Naturally the question about the minimum possible diameter d(2,n) of a plane integral point set consisting of n points arises. We give some new exact values and describe state-of-the-art algorithms to obtain them. It turns out that plane integral point sets with minimum diameter consist very likely of subsets with many collinear points. For this special kind of point sets we prove a lower bound for d(2,n) achieving the known upper bound n^{c_2loglog n} up to a constant in the exponent.
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Inclusion-maximal integral point sets over finite fields
(2007)
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Michael Kiermaier
Sascha Kurz
- We consider integral point sets in affine planes over finite fields. Here an integral point set is a set of points in $GF(q)^2$ where the formally defined Euclidean distance of every pair of points is an element of $GF(q)$. From another point of view we consider point sets over $GF(q)^2$ with few and prescribed directions. So this is related to Redeis work. Another motivation comes from the field of ordinary integral point sets in Euclidean spaces. In this article we study the spectrum of integral point sets over $GF(q)^2$ which are maximal with respect to inclusion. We give some theoretical results, constructions, conjectures, and some numerical data.
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Enumeration of generalized polyominoes
(2006)
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Matthias Koch
Sascha Kurz
- Wir verallgemeinern den Begriff von Polyominoes (Tetrisbausteine) und betrachten Seite-an-Seite benachbarte überschneidungsfreie Vereinigungen von regelmäßigen k-Ecken. Für n<=4 geben wir Formeln für die Anzahl a_k(n) von verallgemeinerten Polyominoes, bestehend aus n regelmäßigen k-Ecken, an. Für weitere kleine Werte von k und n tabellieren wir durch computerunterstützte Enumeration gewonnene Anzahlen. Zum Abschluss erwähnen wir ein paar ungelöste Probleme für verallgemeinerte Polyominoes.
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Maximal integral point sets over Z^2
(2008)
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Sascha Kurz
Andrey Radoslavov Antonov
- Geometrical objects with integral side lengths have fascinated mathematicians through the ages. We call a set P={p(1),...,p(n)} in Z^2 a maximal integral point set over Z^2 if all pairwise distances are integral and every additional point p(n+1) destroys this property. Here we consider such sets for a given cardinality and with minimum possible diameter. We determine some exact values via exhaustive search and give several constructions for arbitrary cardinalities. Since we cannot guarantee the maximality in these cases we describe an algorithm to prove or disprove the maximality of a given integral point set. We additionally consider restrictions as no three points on a line and no four points on a circle.
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A note on Erdös-Diophantine graphs and Diophantine carpets
(2005)
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Axel Kohnert
Sascha Kurz
- A Diophantine figure is a set of points on the integer grid $\mathbb{Z}^{2}$ where all mutual Euclidean distances are integers. We also speak of Diophantine graphs. The vertices are points in $\mathbb{Z}^{2}$ (the coordinates)and the edges are labeled with the distance between the two adjacent vertices, which is integral. In this language a Diophantine figure is a complete Diophantine graph. Two Diophantine graphs are equivalent if they only differ by translation or rotation of vertices. Due to a famous theorem of Erdös and Anning there are complete Diophantine graphs which are not contained in larger ones. We call them Erdös-Diophantine graphs. A special class of Diophantine graphs are Diophantine carpets. These are planar triangulations of a subset of the integer grid. We give an effective construction for Erdös-Diophantine graphs and characterize the chromatic number of Diophantine carpets.
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Konstruktion und Eigenschaften ganzzahliger Punktmengen
(2005)
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Sascha Kurz
- In vielen Anwendungen in der Chemie, Physik, Biologie und in den Ingenieurswissenschaften treten diskrete Strukturen auf. Beispiele solcher diskreter Strukturen sind molekulare Graphen, fehler-korrigierende Codes, Designs, Matroide, Schaltfunktionen, Assoziationsschemata, endliche Geometrien oder Netzwerke. Die bloße theoretische Existenz einer solchen Struktur, auch mit den sich aus den Anwendungen ergebenen Nebenbedingungen, nutzt dem Anwender meist recht wenig. Die Herausforderung der sich die Mathematik in diesem Zusammenhang stellen muss, ist das schnelle redundanzfreie Erzeugen diskreter Strukturen unter Berücksichtigung von Nebenbedingungen. In dieser Dissertation sollen Punktmengen im Euklidischen Raum E^m mit paarweise ganzzahligen Abständen betrachtet werden. Für die Wahl dieses scheinbar recht speziellen Themas gibt es eine Reihe von Gründen. Zum einen gibt es interessante Anwendungen für dieses Problem, von denen wir ein paar im nächsten Kapitel vorstellen möchten. Die Fragestellung ist weiterhin mathematisch sehr interessant, da sie mehrere mathematische Teildisziplinen berührt. Zu nennen wären hier die Geometrie, Gruppentheorie, Zahlentheorie, Graphentheorie und Kombinatorik. Für die allgemeine Theorie der Konstruktion diskreter Strukturen sind die ganzzahligen Punktmengen von Interesse, da man hier nicht mit einem einzigen Konstruktionsalgorithmus zu befriedigenden Resultaten kommen kann, sondern fast die gesamte Bandbreite der bekannten allgemeinen Konstruktionsalgorithmen ausnutzen muss. Das Vorhandensein von stark einschränkenden Nebenbedingungen ist eine weitere sehr willkommene Eigenschaft. Ziel der Dissertation ist es, die Struktur und die Eigenschaften ganzzahliger Punktmengen genauer als bisher bekannt aufzuklären und Algorithmen zu entwickeln, mit denen man diese diskreten Strukturen effizient konstruieren kann. Trotz des speziellen Problems können Erkenntnisse auf das allgemeine Konstruktionsproblem diskreter Strukturen übertragen werden. Im Rahmen dieser Arbeit wurde eine Reihe neuer Resultate erzielt: - Nach Vorarbeiten in Abschnitt 2.3 können wir in Abschnitt 2.4 den Begriff der Charakteristik eines Dreiecks auf Simplizes beliebiger Dimension verallgemeinern. Den für die Konstruktion ganzzahliger planarer Punktmengen äußerst wichtigen Satz, dass je zwei Dreiecke aus 3 nicht kollinearen Punkten einer ganzzahligen planaren Punktmenge dieselbe Charakteristik besitzen, übertragen wir entsprechend auf beliebige Dimensionen. - In Kapitel 3 präsentieren wir eine Variante der ordnungstreuen Erzeugung, die für die Konstruktion ganzzahliger Punktmengen bzw. allgemeiner für die Konstruktion diskreter Strukturen mit strukturell ähnlichen, starken Nebenbedingungen besonders geeignet ist. - Den Eigenschaften und der Berechnung der Charakteristik von ganzzahligen Punktmengen haben wir uns in Kapitel 4 gewidmet. Die dortigen Betrachtungen führen unter anderem zu theoretischen Einsichten in die Struktur ganzzahliger planarer Punktmengen bzw. zu einer Laufzeitabschätzung für die von uns verwendete Konstruktionsmethode (in unserem Spezialfall). - In Kapitel 5 erweitern wir die Liste der bekannten minimalen Durchmesser ganzzahliger planarer Punktmengen. Bisher waren die minimalen Durchmesser ganzzahliger planarer Punktmengen aus n Punkten nur für n<=9 bekannt. In Abschnitt 5.4 bestimmen wir sie für n<=89. Für eine bestimmte Klasse ganzzahliger planarer Punktmengen haben wir in Abschnitt 5.2 die richtige Größenordnung des minimalen Durchmessers bestimmt. Für ganzzahlige planare Punktmengen ohne 3 kollineare Punkte waren die minimalen Durchmesser bisher ebenfalls nur für n<=9 bekannt. In Abschnitt 5.5 haben wir sie für n<=36 bestimmt. - Die Liste der bekannten minimalen Durchmesser von ganzzahligen räumlichen Punktmengen aus n Punkten konnten wir in Abschnitt 9.1 erweitern. Für n=9 mussten wir einen Wert aus der Literatur korrigieren und für 11<=n<=23 haben wir sie erstmals bestimmt. - In Kapitel 10 bestimmen wir die Anzahl ganzzahliger m-dimensionaler Simplizes mit Durchmesser d für einige Paare von Werten von m und d. - In Abschnitt 11.1 behandeln wir ganzzahlige m-dimensionale Punktmengen aus m+2 Punkten. Bisher waren nur Beispiele in den Dimensionen m=3,8 bekannt. Wir zeigen, dass es für ungerade Dimensionen m>=3 immer mindestens eine solche ganzzahlige Punktmenge gibt. Durch eine vollständige Suche zeigen wir, dass es in den Dimensionen m=2,4,6 und 10 keine derartigen Punktmengen gibt. - Für ganzzahlige m-dimensionale Punktmengen aus m+2 Punkten kann der minimale Durchmesser nur 3 oder 4 betragen. Bisher war nur bekannt, dass die untere Schranke 3 in den Dimensionen m=3,6,8 angenommen wird. In Abschnitt 11.2 zeigen wir, dass sie auch für 9<=m<=24 angenommen wird.
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On the characteristic of integral point sets in $\mathbb{E}^m$
(2005)
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Sascha Kurz
- We generalise the definition of the characteristic of an integral triangle to integral simplices and prove that each simplex in an integral point set has the same characteristic. This theorem is used for an efficient construction algorithm for integral point sets. Using this algorithm we are able to provide new exact values for the minimum diameter of integral point sets.
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Counting polyominoes with minimum perimeter
(2005)
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Sascha Kurz
- Es wird die Anzahl der wesentlich verschiedenen Polyominoes der Ordnung n mit minimalem Umfang p(n) bestimmt.
