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Über eine Erweiterung der Methode von Soshnikov zur Untersuchung des größten Eigenwerts auf unsymmetrische Verteilungen
(2013)
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Felix Grimme
- Seit der Entdeckung des Halbkreisgesetzes durch Wigner werden reell-symmetrische Zufallsmatrix-Ensembles untersucht. Soshnikov hat in einer bahnbrechenden Arbeit gezeigt, dass für Wigner-Ensembles $A_n=(\xi_\ij)_{1\le i\le j\le n}$ mit symmetrisch verteilten Einträgen die Verteilung des größten Eigenwerts in einer geeigneten Skalierung für $n\to\infty$ universelles Verhalten zeigt und schwach gegen die Tracy-Widom-Verteilung, die Verteilung des Gauß'schen orthogonalen Ensembles, konvergiert. Für den Beweis nutzt Soshnikov die Momentenmethode. Hierbei wird die Analyse der Verteilungsfunktion des größten Eigenwerts auf die Analyse von Erwartungswerten von Spuren hoher Matrixpotenzen zurückgeführt (die Exponenten wachsen mit $n^{2/3}$). Die Spuren werden via $\tr A_n^{p_n}=\sum_{(i_0,\ldots,i_{p-1})\in[n]^p}\xi_{i_0,i_1}\xi_{i_1,i_2}\ldots\xi_{i_{p-1},i_0}$ als Summe über geschlossene Pfade kombinatorisch interpretiert. In der Analyse gilt es herauszufinden, welche Klassen von Pfaden (die mit den Momenten der Matrixeinträge in Verbindung stehen) die Spuren in der Asymptotik $n\to\infty$ dominieren. Es stellt sich heraus das dies Pfade sind, die jede ihrer Kanten genau zweimal durchlaufen. Das bedeutet, dass die Spuren asymptotisch nur von den für alle Matrixeinträge gleichen zweiten Momenten abhängen, sie sind also asymptotisch für alle betrachteten Ensembles universell.
Diese Methode wird in der vorliegenden Arbeit auf Wigner-Ensembles mit nicht notwendig symmetrischen Verteilungen der Einträge erweitert. Die Kombinatorik ist in diesem Fall komplexer. Resultat der Arbeit ist, dass die Methode von Soshnikov funktioniert, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
die ersten und dritten Momente der Einträge sind~0
für die 97.\ Momente existiert eine in~$n$ gleichmäßige Schranke.
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Zwei auf einen Streich: Optimierte dynamische Einsatzplanung für Gelbe Engel und Lastenaufzüge
(2007)
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Jörg Rambau
Cornelius Schwarz
- Wir modellieren zwei verschiedene dynamische Einsatzplanungsprobleme: die dynamische Einsatzplanung Gelber Engel beim ADAC und die Steuerung von Lastenaufzügen in einem Versandlager der Herlitz PBS AG. Wir benutzen eine Reoptimierungspolitik, die die Steuerung des Systems mit Hilfe der Lösung von statischen Schnappschussproblemen durchführt. Für die auftretenden Schnappschussprobleme vergleichen wir zwei Modellierungsansätze (Flussmodell versus Tourenmodell), von denen nur einer echtzeittauglich ist. Das Verfahren zur dynamischen Einsatzplanung Gelber Engel ist beim ADAC in Betrieb.
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Zur Moritheorie auf Kählerdreifaltigkeiten mit höchstens terminalen Singularitäten
(2005)
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Wolfgang Kronenthaler
- In den späten Neunzigern beginnen F. Campana und Th. Peternell mit der Entwicklung eines Analogons zur Moritheorie projektiver Varietäten für glatte kompakte Kählerdreifaltigkeiten. Dabei zeigen sie unter anderem die Existenz spezieller Kontraktionsabbildungen mit Hilfe von nicht-spaltenden Familien rationaler Kurven, die als Pendant zu den extremalen Kontraktionen der Moritheorie gedacht sind. Beabsichtigt man mit Hilfe dieser Kontraktionsabbildungen ein "minimales Modell-Programm" für kompakte Kählerdreifaltigkeiten zu implementieren, so benötigt man die Existenz solcher Abbildungen auch für Kählerdreifaltigkeiten mit höchstens terminalen Singularitäten. Die Realisierung dieser Verallgemeinerung, aufbauend auf den Techniken aus den Arbeiten der genannten Autoren (wobei die Kontraktion auf eine Kurve nur für Gorenstein-Kählerdreifaltigkeiten nachgewiesen wird), ist genau der Inhalt dieser Arbeit. Den Gegenstand der Untersuchungen dieser Arbeit bilden also Q-faktorielle (nicht-projektive) kompakte Kählerdreifaltigkeiten X mit höchstens terminalen Singularitäten. Unterstellt wird jeweils die Existenz einer nicht-spaltenden Familie (C_t) rationaler Kurven mit dim T >= 1 und (-K_X.C_t ) > 0. Ist die Familie (C_t) überdeckend, hat man F. Campanas geometrischen Quotienten zur Verfügung. Mit dessen Hilfe weist man nach: Satz 1: Sei X eine Q-faktorielle kompakte Kählerdreifaltigkeit mit höchstens terminalen Singularitäten und (C_t) eine überdeckende nicht-spaltende Familie rationaler Kurven. Dann ist X projektiv, es sei denn, es handelt sich um ein P_1-Bündel über einer nicht-projektiven glatten kompakten Kählerfläche mit den Kurven C_t als Fasern. Ist die Familie (C_t) nicht überdeckend und füllt stattdessen nur einen irreduziblen reduzierten Divisor S aus, unterscheidet man danach, ob ein Punkt x_0 in S existiert, durch den alle Kurven einer 1-dimensionalen (Teil-)Familie verlaufen oder nicht. Existiert solch ein Punkt x_0, gilt es, die Fläche S durch Anwendung des Grauertschen Kontraktionssatzes auf einen Punkt in einer Q-faktoriellen Cohen-Macaulayvarietät Y mit höchstens terminalen Singularitäten zu kontrahieren. Man erhält als Ergebnis: Satz 2: Sei X eine Q-faktorielle nicht-projektive kompakte Kählerdreifaltigkeit mit höchstens terminalen Singularitäten und (C_t) eine nicht-spaltende Familie rationaler Kurven mit der Eigenschaft (-K_X.C_t) > 0. Die Familie (C_t) sei entweder 1-dimensional und es gebe einen Punkt x_0 in X, durch den alle Kurven der Familie (C_t) verlaufen, oder 2-dimensional, aber überdecke die Dreifaltigkeit X nicht. Bezeichnet S diejenige (irreduzible reduzierte) Fläche in X, die von den Kurven der Familie (C_t) ausgefüllt wird, so existieren eine kompakte Q-faktorielle Cohen-Macaulayvarietät Y mit höchstens terminalen Singularitäten und eine holomorphe Abbildung f: X -> Y, sodass gilt: 1.) f(S) = pt; 2.) Die eingeschränkte Abbildung f: X-S -> Y-{pt} ist biholomorph. Existiert kein Punkt x_0 wie oben beschrieben, unterscheidet man weiter, ob "(S.C_t) < 0" oder "(S.C_t) >= 0" gilt. Im erstgenannten Fall setzt man sich die Kontraktion auf eine Kurve (wieder in einer Q-faktoriellen Cohen-Macaulayvarietät Y mit höchstens terminalen Singularitäten) zur Aufgabe. Im zweitgenannten Fall findet man entweder eine divisorielle Kontraktion auf einen Punkt oder eine Kurve mit Hilfe einer alternativen nicht-spaltenden Familie rationaler Kurven (C'_t) oder X besitzt die Struktur eines Konikbündels über einer normalen Fläche W. Aus technischen Gründen beschränke ich mich auf den Gorensteinfall: Satz 3: Sei X eine Q-faktorielle nicht-projektive kompakte Gorenstein-Kählerdreifaltigkeit mit höchstens terminalen Singularitäten und (C_t) eine 1-dimensionale nicht-spaltende Familie rationaler Kurven mit der Eigenschaft (-K_X.C_t) > 0. Die Familie (C_t) sei maximal, d.h. T sei eine (irreduzible) Komponente im Douadyraum von X, und es gebe keinen Punkt x in X, durch den alle Kurven der Familie (C_t) verlaufen. Es bezeichne S diejenige (irreduzible reduzierte) Fläche in X, die von den Kurven der Familie (C_t) ausgefüllt wird. I) Ist (S.C_t) < 0, so gilt: 1. S ist isomorph zu einer P_1-Faserung über einer eventuell singulären Kurve B mit den Kurven C_t als Fasern (mengentheoretisch) und (S.C_t) = -1; 2. Es existieren eine kompakte Q-faktorielle Gorensteinvarietät Y mit höchstens terminalen Singularitäten und eine holomorphe Abbildung f: X -> Y, sodass gilt: a) f(S) = B; b) Die eingeschränkte Abbildung f: X-S -> Y-B ist biholomorph. II) Ist (S.C_t) >= 0, so existiert entweder eine divisorielle Kontraktion auf eine kompakte Q-faktorielle Cohen-Macaulayvarietät \tilde{X} mit höchstens terminalen Singularitäten oder X besitzt die Struktur eines Konikbündels über einer normalen Fläche W.
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Weintrauben, Polynome, Tableaux
(1990)
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Axel Kohnert
- Schubert Polynome wurden von Lascoux und Schützenberger definiert. Sie stellen eine Verallgemeinerung der bekannten Schur Polynome dar. Für ein Schur Polynom gibt es eine kombinatorische Interpretation. Es ist die erzeugende Funktion von Tableaux mit vorgegebenen Eigenschaften. In dieser Arbeit wird eine neue kombinatorische Struktur definiert (= Weintrauben). Die Vermutung ist, dass ein Schubert Polynom die erzeugende Funktion spezieller Weintrauben ist. Dies wird für ein Teil der Schubert Polynome in dieser Arbeit gezeigt. Der allgemeine Fall ist noch offen.
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Two Irreducible Components of the Moduli Space M can 1,3
(2012)
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Yifan Chen
- This thesis is devoted to study two families of surfaces of general type: extended Burniat surfaces with K^2=3 and Keum-Naie-Mendes Lopes-Pardini surfaces. We focus on the corresponding subsets in the Gieseker moduli space. Extended Burniat surfaces with K^2=3 were constructed by Bauer and Catanese in the course of studying the tertiary Burniat surfaces and they showed that their closure is an irreducible component of the moduli space. We prove here the union of the loci described by them is indeed a full irreducible component. We also study the local deformations of two families of degenerations of the extended Burniat surfaces. Keum-Naie-Mendes Lopes-Pardini surfaces are the surfaces constructed by Mendes Lopes and Paridini, which realize the Keum-Naie surfaces with K^2=3 as degenerations. We reconstruct a subfamily of such surfaces and investigate their deformations. We show that the closure of the corresponding subset of the Keum-Naie-Mendes Lopes-Pardini surfaces is an irreducible component of the moduli space.
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There are integral heptagons, no three points on a line, no four on a circle
(2007)
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Tobias Kreisel
Sasch Kurz
- We give two configurations of seven points in the plane, no three points in a line, no four points on a circle with pairwise integral distances. This answers a famous question of Paul Erdös.
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The Top-Dog Index: A New Measurement for the Demand Consistency of the Size Distribution in Pre-Pack Orders for a Fashion Discounter with Many Small Branches
(2008)
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Sascha Kurz
Jörg Rambau
Jörg Schlüchtermann
Rainer Wolf
- We propose the new Top-Dog-Index, a measure for the branch-dependent historic deviation of the supply data of apparel sizes from the sales data of a fashion discounter. A common approach is to estimate demand for sizes directly from the sales data. This approach may yield information for the demand for sizes if aggregated over all branches and products. However, as we will show in a real-world business case, this direct approach is in general not capable to provide information about each branchs individual demand for sizes: the supply per branch is so small that either the number of sales is statistically too small for a good estimate (early measurement) or there will be too much unsatisfied demand neglected in the sales data (late measurement). Moreover, in our real-world data we could not verify any of the demand distribution assumptions suggested in the literature. Our approach cannot estimate the demand for sizes directly. It can, however, individually measure for each branch the scarcest and the amplest sizes, aggregated over all products. This measurement can iteratively be used to adapt the size distributions in the pre-pack orders for the future. A real-world blind study shows the potential of this distribution free heuristic optimization approach: The gross yield measured in percent of gross value was almost one percentage point higher in the test-group branches than in the control-group branches.
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The Stochastic Guaranteed Service Model with Recourse for Multi-Echelon Warehouse Management
(2012)
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Jörg Rambau
Konrad Schade
- The Guaranteed Service Model (GSM) computes optimal order-points in multi-echelon inventory control under the assumptions that delivery times can be guaranteed and the demand is bounded. Our new Stochastic Guaranteed Service Model (SGSM) with Recourse covers also scenarios that violate these assumptions. Simulation experiments on real-world data of a large German car manufacturer show that policies based on the SGSM dominate GSM-policies.
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The Integrated Size and Price Optimization problem
(2012)
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Miriam Kießling
Sascha Kurz
Jörg Rambau
- We present the Integrated Size and Price Optimization Problem (ISPO)
for a fashion discounter with many branches. Based on a two-stage
stochastic programming model with recourse, we develop an exact
algorithm and a production-compliant heuristic that produces small
optimality gaps. In a field study we show that a distribution of
supply over branches and sizes based on ISPO solutions is
significantly better than a one-stage optimization of the
distribution ignoring the possibility of optimal pricing.
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THE INDEX THEOREM FOR QUASI-TORI
(2013)
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Tsz On Mario Chan
- The Index theorem for holomorphic line bundles on complex tori
asserts that some cohomology groups of a line bundle vanish according
to the numbers of negative and positive eigenvalues of the associated
hermitian form. In this thesis, this theorem is generalized to quasi-tori,
i.e. connected complex abelian Lie groups which are not necessarily
compact. In view of the Remmert–Morimoto decomposition of
quasi-tori as well as the Künneth formula, it suffices to consider only
Cousin-quasi-tori, i.e. quasi-tori which have no non-constant holomorphic
functions. The Index theorem is generalized to holomorphic line
bundles, both linearizable and non-linearizable, on Cousin-quasi-tori
using L2-methods coupled with the Kazama–Dolbeault isomorphism
and Bochner–Kodaira formulas.
