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- Gemischt-ganzzahlige Optimierung (3)
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Das Optimierungslabor – ein Erfahrungsbericht
(2012)
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Miriam Kießling
Tobias Kreisel
Sascha Kurz
Jörg Rambau
Konrad Schade
Cornelius Schwarz
- Seit mehreren Jahren besuchen uns Schülerinnen und Schüler an der
Universität zu Anlässen wie dem Tag der Mathematik, dem Girls’ Day,
der MINT-Universität oder einfach auf Initiative ihrer
Klassenleitungen. Sie möchten einen Einblick in die Welt der
Mathematik über die Schulmathematik hinaus bekommen. Doch wie lässt
sich die Brücke vom Schulstoff zu den Inhalten der
Universitätsmathematik schlagen? Und: findet man einen
Themenschwerpunkt, bei dem ein aktives Mitmachen trotz fehlender
Vorkenntnisse in Anbetracht begrenzter Zeit möglich wird?
In der diskreten Optimierung lassen sich Problem-Modellierung und
Problem-Lösung sehr gut trennen. Selbst forschungsnahe Modelle der
ganzzahligen linearen Optimierung (MILP-Modelle) basieren auf sehr
elementaren Überlegungen, wie die Entscheidungsmöglichkeiten, Ziele
und Restriktionen eines Alltagsproblems in Variablen,
Bewertungsfunktionen, Gleichungen und Ungleichungen ausgedrückt werden
können. Wie dann optimale Lösungen gefunden werden, erfordert zwar
tiefergehende Mathematik, es gibt aber Software dafür, in der das
Wissen aus Teilen des Mathematik-Studiums und der mathematischen
Forschung kondensiert vorliegt.
Unser Vermittlungsziel: Schülerinnen und Schüler wissen nach dem
Besuch, dass man verschiedenste Probleme angreifen kann, indem man sie
in die Sprache der Mathematik übersetzt, denn in Software gegossenes
mathematisches Know-How kann dann diese Probleme lösen, ohne etwas
über die Probleme selbst zu wissen. Unsere Idee für eine Maßnahme:
Ein Optimierungslabor. Die Schülerinnen und Schüler isolieren in
Teamarbeit die wesentlichen logischen Merkmale von Sudokulösen,
Rucksackpacken, Routenplanung u.v.a.m. Dann übersetzen sie die
Problemstellungen in die Sprache der Mathematik (hier: MILP-Modelle)
und lassen sie (unterstützt durch unser Team) von Computerprogrammen
lösen (MILP-Löser), die nichts anderes als diese Sprache verstehen.
Schließlich übersetzen sie die mathematischen Lösungen wieder in die
Sprache der Problemstellung. Erfahrungen mit der Modellierung auf
Basis linearer Gleichungssysteme können dabei aus dem Schulunterricht
eingebracht werden.
In diesem Bericht wollen wir unsere Erfahrungen mit konkreten Details
der Umsetzung schildern.
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Exploiting combinatorial relaxations to solve a routing & scheduling problem in car body manufacturing
(2010)
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Jörg Rambau
Cornelius Schwarz
- Motivated by the laser sharing problem (LSP) in car body manufacturing, we define the new general routing and scheduling problem (RSP). In the RSP, multiple servers have to visit and process jobs; renewable resources are shared among them. The goal is to find a makespan-minimal scheduled dispatch. We present complexity results as well as a branch-and-bound algorithm for the RSP. This is the first algorithm that is able to solve the LSP for industrially relevant problem scales.
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How to avoid collisions in scheduling industrial robots?
(2010)
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Jörg Rambau
Cornelius Schwarz
- In modern production facilities industrial robots play an important role. When two ore more of them are moving in the same area, care must be taken to avoid collisions between them. Due to expensive equipment costs our approach to handle this is very conservative: Each critical area is modeled as a shared resource where only one robot is allowed to use it at a time. We studied collision avoidance in the context of arc welding robots in car manufacture industry. Here another shared resource comes into place. When using laser welding technology every robot needs to be connected to a laser source supplying it with the necessary energy. Each laser source can be connected to up to six robots but serve only one at a time. An instance of the problem consists of a set of robots, a set of welding task, a number of laser sources, a distance table, collision information and a production cycle time. The goal is to design robot tours covering all task and schedule them resource conflict free such that the makespan does not exceed the cycle time. We propose a general model for integrated routing and scheduling including collision avoidance as well as a branch-and-bound algorithm for it. Computational results on data generated with the robot simulation software KuKa Sim Pro are also provided showing that our algorithm outperforms standard mixed-integer models for our application.
