Integral point sets over finite fields

We consider point sets in the affine plane GF(q)^2 where each Euclidean distance of two points is an element of GF(q). These sets are called integral point sets and were originally defined in m-dimensional Euclidean spaces. We determine their maximal cardinality I(GF(q),2). For arbitrary commutative rings R instead of GF(q) or for further restrictions as no three points on a line or no four points on a circle we give partial results. Additionally we study the geometric structure of the examples We consider point sets in the affine plane GF(q)^2 where each Euclidean distance of two points is an element of GF(q). These sets are called integral point sets and were originally defined in m-dimensional Euclidean spaces. We determine their maximal cardinality I(GF(q),2). For arbitrary commutative rings R instead of GF(q) or for further restrictions as no three points on a line or no four points on a circle we give partial results. Additionally we study the geometric structure of the examples with maximum cardinality.show moreshow less
Wir betrachten Punktmengen in der affinen Ebene GF(q)^2, bei denen der Euklidische Abstand zwischen zwei Punkten im Körper GF(q) liegt. Derartige Punktmengen nennen wir ganzzahlige Punktmengen. Ursprünglich wurden sie in Euklidischen Räumen betrachtet. Wir bestimmen die maximale Kardinalität I(GF(q),2) dieser Punktmengen. Für beliebige kommutative Ringe R an Stelle der Körper GF(q) oder für weitere Restriktionen, wie "keine 3 Punkte auf einer Geraden" oder "keine 4 Punkte auf einem Kreis" geben Wir betrachten Punktmengen in der affinen Ebene GF(q)^2, bei denen der Euklidische Abstand zwischen zwei Punkten im Körper GF(q) liegt. Derartige Punktmengen nennen wir ganzzahlige Punktmengen. Ursprünglich wurden sie in Euklidischen Räumen betrachtet. Wir bestimmen die maximale Kardinalität I(GF(q),2) dieser Punktmengen. Für beliebige kommutative Ringe R an Stelle der Körper GF(q) oder für weitere Restriktionen, wie "keine 3 Punkte auf einer Geraden" oder "keine 4 Punkte auf einem Kreis" geben wir erste Teilresultate an. Zusätzlich betrachten wir die geometrische Struktur der Beispiele mit der maximalen Kardinalität.show moreshow less

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Metadaten
Institutes:Mathematik
Author: Sascha Kurz
Year of Completion:2007
SWD-Keyword:Abstand; Galois-Feld
Tag:Punkte Konfigurationen; endliche Geometrie; ganzzahlige Punktmengen
finite geometry; integral point sets; point configurations; universal geometry
Dewey Decimal Classification:510 Mathematik
URN:urn:nbn:de:bvb:703-opus-4131
Document Type:Preprint
Language:English
Date of Publication (online):15.04.2008