Maximal integral point sets over Z^2

Geometrical objects with integral side lengths have fascinated mathematicians through the ages. We call a set P={p(1),...,p(n)} in Z^2 a maximal integral point set over Z^2 if all pairwise distances are integral and every additional point p(n+1) destroys this property. Here we consider such sets for a given cardinality and with minimum possible diameter. We determine some exact values via exhaustive search and give several constructions for arbitrary cardinalities. Since we cannot guarantee the Geometrical objects with integral side lengths have fascinated mathematicians through the ages. We call a set P={p(1),...,p(n)} in Z^2 a maximal integral point set over Z^2 if all pairwise distances are integral and every additional point p(n+1) destroys this property. Here we consider such sets for a given cardinality and with minimum possible diameter. We determine some exact values via exhaustive search and give several constructions for arbitrary cardinalities. Since we cannot guarantee the maximality in these cases we describe an algorithm to prove or disprove the maximality of a given integral point set. We additionally consider restrictions as no three points on a line and no four points on a circle.show moreshow less
Geometrische Objekte mit ganzzahligen Seitenlängen haben die Mathematiker seit Jahrhunderten fasziniert. Wir nennen eine Menge P={p(1),...,p(n)} eine maximale ganzzahlige Punktmenge über Z^2, falls alle paarweisen Abstände ganzzahlig sind und jeder zusätzliche Punkt p(n+1) diese Eigenschaft zerstört. In diesem Artikel betrachten wir solche Mengen für gegebene Kardinalität und minimalen Durchmesser. Wir bestimmen ein paar exakte Werte mittels erschöpfender Suche und geben einige Konstruktionen füGeometrische Objekte mit ganzzahligen Seitenlängen haben die Mathematiker seit Jahrhunderten fasziniert. Wir nennen eine Menge P={p(1),...,p(n)} eine maximale ganzzahlige Punktmenge über Z^2, falls alle paarweisen Abstände ganzzahlig sind und jeder zusätzliche Punkt p(n+1) diese Eigenschaft zerstört. In diesem Artikel betrachten wir solche Mengen für gegebene Kardinalität und minimalen Durchmesser. Wir bestimmen ein paar exakte Werte mittels erschöpfender Suche und geben einige Konstruktionen für beliebige Kardinalitäten an. Da wir die Maximalität in unseren Konstruktionen nicht garantieren können, geben wir einen Algorithmus an, mit dem man die Maximalität einer Punktmenge überprüfen kann. Als zusätzliche Restriktionen betrachten wir das Ausschliessen von drei Punkten auf einer Geraden oder vier Punkten auf einem Kreis.show moreshow less

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Metadaten
Institutes:Mathematik
Author: Sascha Kurz, Andrey Radoslavov Antonov
Year of Completion:2008
SWD-Keyword:Abstand; Durchmesser; Kombinatorik
Tag:Durchmesser; Maximalität; ganzzahlige Abstände; vollständige Suche
diameter; exhaustive search; integral distances; maximality
Dewey Decimal Classification:510 Mathematik
MSC-Classification:05D99 None of the above, but in this section
11D99 None of the above, but in this section
52-04 Explicit machine computation and programs (not the theory of computation or programming)
52C10 Erd}os problems and related topics of discrete geometry [See also 11Hxx]
URN:urn:nbn:de:bvb:703-opus-4115
Document Type:Preprint
Language:English
Date of Publication (online):15.04.2008