Die schwache Lösung des dritten Randwertproblems der statischen Elastizitätstheorie in $L^q$ für das Differentialgleichungssystem $\Delta\underline{u}+\lambda\nabla div\underline{u}=div\underline{\underline{f}}$ im beschränkten Gebiet und Außengebiet

The weak solution of the third boundary value problem of static elasticity theory in $L^q$ for the differential equation $\Delta\underline{u}+\lambda \nabla div\underline{u}=div\underline{\underline{f}}$ in bounded or exterior domains

In dieser Arbeit wird die Lamégleichung $$\Delta\underline{u}+\lambda \nabla div\underline{u}=div \underline{\underline{f}}$$ mit den Randbedingungen (Wobei $T^{(j)}(x)=(T^{(j)}_1(x),...,T^{(j)}_n(x)),\;j=1,...,n-1$ die Basis des Tangentialraumes von $\partial\Omega$ in $x$ und $\underline{N}$ die äußere Normale ist.) I) $$\left.\sum_{i,k=1}^n \partial_i u_k T_k^{(j)} N_i\right|_{\partial\Omega}= \left.\sum_{i,k=1}^n f_{ik}T_k^{(j)} N_i\right|_{\partial\Omega}$$ und $$\left.<\underline{u},\underIn dieser Arbeit wird die Lamégleichung$$\Delta\underline{u}+\lambda \nabla div\underline{u}=div \underline{\underline{f}}$$mit den Randbedingungen (Wobei T^{(j)}(x)=(T^{(j)}_1(x),...,T^{(j)}_n(x)),\;j=1,...,n-1 die Basis des Tangentialraumes von \partial\Omega in x und \underline{N} die äußere Normale ist.) I)$$\left.\sum_{i,k=1}^n \partial_i u_k T_k^{(j)} N_i\right|_{\partial\Omega}= \left.\sum_{i,k=1}^n f_{ik}T_k^{(j)} N_i\right|_{\partial\Omega}$$und$$\left.<\underline{u},\underline{N}>\right|_{\partial\Omega}=0,$$II)$$\left.\sum_{i,k=1}^n\left[ \partial_i u_k T_k^{(j)} N_i+ \partial_k u_i T_k^{(j)} N_i\right]\right|_{\partial\Omega}=\left.\sum_{i,k=1}^n f_{ik}T_k^{(j)} N_i\right|_{\partial\Omega}$$und$$\left.<\underline{u},\underline{N}>\right|_{\partial\Omega}=0$$im Rahmen der schwachen L^q-Theorie für beschränkte Gebiete und Außengebiete untersucht. Weiter wird die Existenz eines \underline{u}\in \underline{Y}^{1,q}(\Omega) mit (Randbedingung I)$$<\nabla\underline{u},\nabla\underline{\Phi}>_\Omega+\lambda_1<div\underline{u},div\underline{\Phi}>_\Omega=\sum_{i,k=1}^n\underset{\Omega}{\int}f_{ik}\partial_i \Phi_k dx\text{ für alle }\underline{\Phi}\in\underline{Y}^{1,q'}(\Omega)$$beziehungsweise ein \underline{u} in einem passend gewähltem Teilraum \underline{Z}^q(\Omega)\subset \underline{Y}^{1,q}(\Omega) mit (Randbedingung II)$$\frac{1}{2}<\epsilon(\underline{u}),\epsilon(\underline{\Phi})>_\Omega+\left(\lambda_2-1\right)<div\underline{u},div\underline{\Phi}>_\Omega=\sum_{i,k=1}^n\underset{\Omega}{\int}f_{ik}\partial_i \Phi_k dx\text{ für alle }\underline{\Phi}\in\underline{Z}^{q'}(\Omega).$$gezeigt. Eine schwache Lösung, die regulär bis zum Rande angenommen wird, erfüllt dann die Randbedingungen I beziehungsweise II. In this paper we consider the Lamé equation$$\Delta\underline{u}+\lambda \nabla div\underline{u}=div \underline{\underline{f}}$$with the boundary conditions (Where T^{(j)}(x)=(T^{(j)}_1(x),...,T^{(j)}_n(x)),\;j=1,...,n-1 is a basis of the tangential space of \partial\Omega in x and \underline{N} is an outward unit normal.) I)$$\left.\sum_{i,k=1}^n \partial_i u_k T_k^{(j)} N_i\right|_{\partial\Omega}= \left.\sum_{i,k=1}^n f_{ik}T_k^{(j)} N_i\right|_{\partial\Omega}$$and$$\left.<\undeIn this paper we consider the Lamé equation $$\Delta\underline{u}+\lambda \nabla div\underline{u}=div \underline{\underline{f}}$$ with the boundary conditions (Where $T^{(j)}(x)=(T^{(j)}_1(x),...,T^{(j)}_n(x)),\;j=1,...,n-1$ is a basis of the tangential space of $\partial\Omega$ in $x$ and $\underline{N}$ is an outward unit normal.) I) $$\left.\sum_{i,k=1}^n \partial_i u_k T_k^{(j)} N_i\right|_{\partial\Omega}= \left.\sum_{i,k=1}^n f_{ik}T_k^{(j)} N_i\right|_{\partial\Omega}$$ and $$\left.<\underline{u},\underline{N}>\right|_{\partial\Omega}=0,$$ II) $$\left.\sum_{i,k=1}^n\left[ \partial_i u_k T_k^{(j)} N_i+ \partial_k u_i T_k^{(j)} N_i\right]\right|_{\partial\Omega}=\left.\sum_{i,k=1}^n f_{ik}T_k^{(j)} N_i\right|_{\partial\Omega}$$ and $$\left.<\underline{u},\underline{N}>\right|_{\partial\Omega}=0$$ in bounded or exterior domains in the context of the weak $L^q$-theory. This thesis proofs the existence of an $\underline{u}\in \underline{Y}^{1,q}(\Omega)$ with (boundary condition I) $$<\nabla\underline{u},\nabla\underline{\Phi}>_\Omega+\lambda_1<div\underline{u},div\underline{\Phi}>_\Omega=\sum_{i,k=1}^n\underset{\Omega}{\int}f_{ik}\partial_i \Phi_k dx\text{ for all }\underline{\Phi}\in\underline{Y}^{1,q'}(\Omega)$$ or rather an $\underline{u}$ belonging to a suitable subspace $\underline{Z}^q(\Omega)\subset \underline{Y}^{1,q}(\Omega)$ such that (boundary condition II) $$\frac{1}{2}<\epsilon(\underline{u}),\epsilon(\underline{\Phi})>_\Omega+\left(\lambda_2-1\right)<div\underline{u},div\underline{\Phi}>_\Omega=\sum_{i,k=1}^n\underset{\Omega}{\int}f_{ik}\partial_i \Phi_k dx\text{ for all }\underline{\Phi}\in\underline{Z}^{q'}(\Omega).$$ Finally if the weak solution is supposed to be regular up to the boundary it is verified that it satisfies the boundary conditions I and II.